Posons
^':-y-i(fy-,^a
nous trouverons sans peine, en partant des formules des n°* 90 et 92,
... cosÇ
et
[^{lï-'-êiiï^-h'^'^
! .[lH!(iy„....],„e,.[^-Z|2!(fy-...]si„,,-.....
Ces deux formules sont l'une des bases fondamentales du développement usuel de la fonction perturbatrice, celui qu'a adopté M. Le Verrier.
On aura à en conclure les développements de x^ x^ . . ., de yS y% . . . , de xy, x-y, . . . , xy^, xy^ . . ., et en général de x"'y'' suivant les sinus ou cosinus-
des multiples deX.
__- Pour'cé'qui concerneMes puissances successives de x, la question est résolue par les formules du n^^^a; elles montrent que x'" ne contient que des cosinus des multiples de 'C et que le coefficient de cos^s est de la forme
( 35 ) ce'+^^-h Cl e'+ï-^'+s + c^ e'+^^+'' -+■...,
k désignant un entier positif qui peut être nul; on doit avoir d'ailleurs
i -\- ikzm.
Pour les puissances successives de y, on les effectuera de proche en proche, en partant de la formule (34), que nous écrirons ainsi
y — . . ,4- ^>^ sin/>C + . . .-H Z'y sin^C -H- • • ;
bp et b^ sont respectivement des ordres/? et^ relativement à e, et ne renferment que des puissances de e dont les exposants sont de même parité que/? et^; on aura d'abord
y2— . . .+ bl&m^pt, + bjj sin-^C + 2bpbq^'n\p^?>\nqK -H-
y'^ = ,.. + ^[bl-^bl)—{blC0S'îpK~{blC0SiqK -^bpbqCOS{q — p)K — bpb,jCOS{q --\-p)K -h
11 n'y aura donc que des cosinus dans le développement de y^; l'ordre de {b'^, coefficient de cos2/?'C est 2/?; celui de bj,bq, coefficient de cos(q -I-/>)C est q ^p; l'ordre de bpb^, coefficient de cos(q -- p)Q est q -{- p = (q — p) -\- 2p.
On en conclut aisément que le coefficient de cosî(^dansy^ est de la forme (35), et que l'on doit avoir
On verra de même que y'' ne contiendra que des sinus et que le coefficient de s'mi'C, sera de la forme (35), avec
En général, le développement de y" ne renfermera que des cosinus, si n est pair, et des sinus, si n est impair; les coefficients de cosi'C, et de sinTC seront de la forme (35), avec la condition
i-\~ 2kz,n.
On passera ensuite aisément aux développements périodiques des produits tels que x^'y", on m et n désignent des nombres entiers positifs ou nuls; x^'y" ne contiendra que des cosinus si n est pair, des sinus quand n sera impair; les coefficients de cosî^ et de sin?^ seront de la forme (35), avec la condition
Le Verrier a donné les développements ci-dessus, pour toutes les valeurs telles que m -h 71^7, dans le Tome I des Annales de r Observatoire de Paris, pages 343-345; il a négligé e% e% ....
94. Nous aurons besoin également des développements périodiques de x/'-^cos/iy et de xp-i sinhy,
où p, q, h sont des nombres entiers nuls ou positifs, q étant au plus égal kp.
Pour les obtenir, il suffira de remplacer cosAy et sinAy par leurs développements connus suivant les puissances de Ay.
On trouvera ainsi
(36) \P-icoshy=xP-'i xP~'/y^ H xP-iy^ — ...,
(37) \P-fsinhy—-\P-'fy ;jXP-?y3 + , . .;
il n'y aura plus qu'à remplacer les diverses puissances, telles que x°'y^ parleurs développements ci-dessus; le nombre entier A restera indéterminé.
On verra aisément que x^^^cosÂy ne contiendra que des cosinus, tandis que x^~^sinAy ne renfermera que des sinus; le coefficient de cosï(^ dans x^^^^cosAy sera de la forme (35), avec la condition
le coefficient de sin^C dans x''"^sinAy sera de la forme (35), avec la condition
1+ ik^p — q -\-\.
Ces nouveaux développements se trouvent dans les pages 346-348 du Tome i des Annales de l'Observatoire.
Enfin il nous sera encore nécessaire d'obtenir les développements périodiques de
et ^
p, q Qih désignant des nombres entiers nuls ou positifs ; on les obtiendra en développant par la formule du binôme (i h- x)~^"* suivant les puissances entières et positives de x :
(38) : — xT = x'î'cos Ay— x'î'+^cos/iy + ~~ ' \i+^coshy — . . .,
(3q) -, r^ =x7sin/iy — -i- x-^+i smAy + ^-^^— — '-^ -xf+^sinhy —
On se trouvera donc ramené à appliquer plusieurs fois les formules (36) et (37); le développement (38) ne contiendra que des cosinus et sera de la forme (35) avec la condition
(39) ne contiendra que des sinus, avec la condition
Ces développements occupent les pages 348-355 du Tome I des Annales de V Observatoire.
