X!^'/"^-i + . . . + XiY" z-'-h
ou, plus simplement,
(2) (^YE'"-v/-i=r2x:?
On est donc ramené à développer ( - j E'"'^^^ ' suivant les puissances positives et négatives de z. On aura ensuite
Ci = X?''" + Xl-^"" , B,- = X?>"' — XI}
Avant de procéder à la détermination générale de X"'"', nous allons résoudre quelques questions préliminaires.
96. Considérons deux nouvelles exponentielles qui correspondent à l'anomalie excentrique et à l'anomalie vraie,
(4) a: = E^^~', jiirE»v/=T, 5 = Eî^v/=î;
y est ce que nous appelions s dans le Chapitre précédent. On aura donc, comme on l'a vu dans ce Chapitre,
FORMULES DE IIANSEN. 25 1
On peut aussi trouver une relation entre oo et y; partons, en effet, de la formule
lang- = y/^-^^tang-,
remplaçons-y tang- par -=^r- -^^ = -=^, tang-par-^ ^::^,
V"^ P.2^ uF. î^ V ^ -^ V ^
E*' H-E et posons
d'où
l'où
nous trouverons ainsi
d'où
j + i iH-(3 a;H-i
IH- (3^ IH- (Sic'
on en déduit
Si nous éliminons j entre les équations (a) et (^), nous aurons une relation entre z et ^; nous tirons d'abord de la formule {h)
En portant dans la formule (a) la valeur {h) de y et la valeur ci-dessus
de jK ' et remarquant que l'on a - (i — (3^) = ^ \/i — e-, on trouve
Il convient de remarquer que, diaprés sa définition (4)» (^ est plus petit que e, et diffère peu de - si e est petit.
Exprimons maintenant le rayon vecteur r en fonction de x ou de j; on a d'abord
/• e f I \ ey' — 2y + e - —l jH — ^ 'L
a "^K yj 27
On a ensuite
ou bien
M(iH-I)
Nous aurons tout à l'heure à introduire du ou dw au lieu de c?'C; nous aurons pour cela les formules
(7) d^='-du,
97. Nous pouvons maintenant aborder la détermination de X"'"'. Multiplions les deux membres de l'équation (2) par z~^dQ, et intégrons relativement à ^ entre les limites o et 27: ; nous trouverons
(9) x?.».=^jr"(£)".™=-.rfç.
Nous pouvons remplacer maintenant, dans le second membre de cette for-
mule, r, x, z, dX, respectivement, d'abord par leurs valeurs (5), {h'), (a), (7), puis par leurs valeurs (6), (c), (8) (dans cette dernière substitution on ne touche pas à la quantité a?); il viendra
(A) X?'"'=:r (i + (32)-«-l / y'«-<(i-(3j)«-'«+W i t^j E^^ y^ du,
A chacune de ces équations correspond une des formules de Hansen. Puisque (3 est compris entre o et i et que les modules de a? et j sont égaux a I, on voit que (i — |3j)"-'"+* et ( i — - ) sont développables en séries
convergentes suivant les puissances de j ou de -; il en est de même relativement à X, pour (i -f- ^^y-"-2 et ( iH- ^ J ; g^N^-^'i+p^, ^^^ développable
/ — •■'^~' suivant les puissances de — ^j— > donc suivant celles de x; E *"^ i+par-»
est de même développable suivant les puissances de x~\ On en conclut que, si l'on considère les fonctions
ces fonctions seront développables en séries convergentes procédant suivant les puissances positives et négatives de j ou de x.
Désignons par x le coefficient de j'""* dans le développement de $, et par oC celui de x'-"' dans le développement de $' ; nous aurons
(C) X?>'«r=(i4-(32)-«-îX, (r'\ -vn.m y* H ^ a'
car le terme xy'-"" donnera, dans l'intégrale du second membre de la formule (A),
et tout autre terme, tel que \)i,y '"'^■', donnerait
,2Tt
a)b X — / r^ du ^=o.
Nous allons nous occuper d'abord des formules (A), (B), (C).
98. Il convient de remarquer que le théorème de Cauchy conduirait immédiatement à la formule (A) de cette première méthode. Nous supposerons d'abord i= o\ la fonction $ se réduit à
/ ft \ n-\-in+l
a>o=(i-(3/)"-"'+'(^i-^] ; soit cl,o le coefficient de j""' dans $„; on aura
Posons, pour un moment, .
on aura
parce que m est un entier nul ou positif; le ternie général de $, est égal à
on doit avoir
r — 5 =r —m, d'où 5 = r + m.
On donnera ensuite à r les valeurs o, + i , + 2, . . . et à 5 les valeurs correspondantes; il viendra ainsi
Pip — '^) q{q — i)...{q — m — i) , 1
On aura donc
X«''«=-^ '- ^WttTTT (/i + 2)(n + 3)...(/i+m-t-i)
(n — m-{-i)(n — m) n{n-hi) . . .(n-j-m-hi) g,^ 1
Si le nombre n est tel que l'on ait
la série qui figure dans le second membre de la formule (D) se termine d'elle-même; si n est égal à l'un des nombres — 2, — 3, . . ., —m — i, on a XJ'"*= o. Si l'on a 7i<— m — i, la série se prolonge indéfiniment. On peut écrire alors, en employant la notation employée pour représenter la série hypergéométrique,
(D,) \-^'n=^-,yn r^__ rrrrr^ .^F(m-/i-i,-n-i,m+i,p
Considérons maintenant le cas général où «est un nombre positif ou négatif différent de zéro; en faisant
le .1+1/1 — e*
ap a
la formule (B) donnera
\ en posant
(II
/ 0 = (i (3j)«-'«+ie^Pj',
Nous allons chercher le développement de© suivant les puissances de j; nous en conclurons celui de 0, en changeant/ en -? m en — m, v en — v. On a, en séries convergentes,
(i — ^yyi-m+i -— I ^j l :^ 1\ / jji^j
E^PJ' = i+ - 3r+ — &^Y^-] ^ 3'y3-f-....
Si donc on pose
(n — m-{-i){n — m) n — m + iv v'
on aura
(i3) Q = i -P.[3jK + P,(3V-P3(3y + ....
On fera de même, en changeant ttz et v en — m et — v, « + m + I V
et il viendra
Il faut maintenant faire le produit des seconds membres des équations (i3) et (i3,), et chercher dans ce produit le coefficient X du terme en j' '". Si i — m est positif, on trouve
au lieu que, dans le cas de « — w négatif, il vient
Jl, = (- I )— '• ( Q,„, p— '• + Q,„,-^, P, (3'«-'+2 4- . . . ) . On aura donc ces valeurs de X"'"" :
Il convient de remarquer que, dans les formules (E) et (F), il suffira d'un nombre de termes peu considérable, puisque chaque nouveau terme contient un facteur ^^ de plus que le précédent.
Les quantités P,, Pa Qo Q2' • • • seront calculées par les formules (12)
et (i2,), V étant défini par la relation (10).
Appliquons ces formules au développement de ^j nous aurons doncn = — 2, m = o; les formules (12) et(i2<) donneront
après quoi la formule (E) deviendra
X7^.o = (-i)/(3'(n-(3^)(P, + P,+iQ,(32+P,^2Q2(3* + ...)-
99. Nous allons appliquer maintenant les formules (B') et (C)- Nous considérerons en premier lieu le cas de « = o; la fonction $' se réduit alors à
soit .\,'„ le coefficient de a^-"' dans cette formule, on aura
on arrive ainsi sans peine à la formule suivante :
(D') ( |. ^.^^ in-h2){n-h3)...(n-{- m-hi)
On voit que la série qui figure dans cette formule se termine d'elle-même lorsque n -+- m -\-i est négatif, auquel cas la série qui entre dans (D) se compose au contraire d'un nombre illimité de termes.
On peut donc toujours exprimer X'J'"* sous forme finie.
Si /i H- 2 est positif, la série qui figure dans (D') n'est pas limitée; on peut écrire, comme on le voit aisément,
^p;) xr» = (-.)'» ^^2^ („+.)(.+3)...(«+^+.) „^„,, „ + .,«+,. p.
On vérifie facilement l'identité des formules (D,) et (D, ), en partant de la propriété de la série liypergéométrique qu'exprime la relation suivante :
Enfin on a aussi cette autre propriété [Œuvres de Gauss^ t. III, p. 225, formule (loo)],
(i5) F(2a',2a' + i-c', c', p^) = (i + (3^)-^«Tp, «'+^, c', ^^^^.y]'
qui donne, en posant
2a'=m — n — i, c'nrm + i:
Yim — n — 1, — /i— I, m 4-1, (3^) — (i + (3^y^+i-»'F T^ ~^^ ~ ' , ^'~'\ m -{- i, eM.
La formule (D,) peut donc s'écrire
ou encore, en tenant compte de la propriété (i4)»
, (/i4-2)(« + 3)...(« + m + i) /e\'«, n+\ fm + n + 1 /wH-7i + 3 :D;) X'o'''«-(-0'"^^^^^^-^--^ \-) (ï-O -F( ^ ' ^ ,m+,,e'
On aurait pu, d'ailleurs, démontrer beaucoup plus simplement ces relations (D2)et(D.j). Ona, eneffet,
X«'"' =: — / ( -Y E'"'^v'^<iC= — / (-1 cosmwc/Ç
I I r'''[rY+'' ,
rrr — ^^r:::;: / — 0,0?, mw clw
— (i — e-) ^ — / {\ -\- e co?,w)-^"^-- co^mwaw
OU bien, en développant (i + ccosm^)-''-^ par la formule du binôme,
Xo''" = (i — e^) ^ X. (— OP^ — ^ ^eP — / cosP«'COsm^^<^«' .
/fi»
Or l'intégrale ^ / cosP/cosm«^û?q^ est nulle si p est plus petit que m; elle
l'est encore si, p étant plus grand que m, la différence p — m est impaire ; dans le cas où cette différence est paire,
on a
I / ,„j-9o' J I 1 . 2 . . ( m H- 2 p' ) — / cos'"+^P w CCS mw dw =: — ; — 5= ^-^ — - .
271 Jj, 2'«+2p' I.2...p'.1.2...(m4-p')
Il viendra donc
Xn,m^( ,\,n(^'Y(, ^2^"+i V (/? + 2) ( 71 + 3) . ■ . ( n + m + I +ip') fey?'
Ao -( I) (^-j (i-e) 2é r:^..p'.i.2...(m + p') U; ^
on vérifie aisément que cette formule coïncide avec (D^).
Considérons maintenant le cas général où i est un nombre positif ou négatif différent de zéro; en posant
la formule (B') donnera
en faisant
(II'
nous allons chercher le développement de 0' suivant les puissances de^; nous en conclurons celui de &^ en changeant x en -, i en — iy V en — v'. Or on a
On peut développer les puissances de i + '^x, et ordonner par rapport h ^œ; on est conduit à poser
on a alors
(i3') •- 0' = i— P;(3^H-P;-[3^r2— P'jjS^^^H-...
On fera de même, en changeant / en — ï et v' en — v',
