I II
(i2'i) \ ( /i 4- 2 H- 0 ( /i + 3 4- 0 ( /it + 4 + 0 (n 4- 34- 0 (/? 4-4 + 0 v'
ce qui donnera
Il faut maintenant faire le produit des seconds membres des équations (r3') et (i3',), et chercher dans ce produit le coefficient JU' du terme en x^-^.
La formule (C) donnera ensuite X"'"; on trouve, comme précédemment, qu'il y a à distinguer deux cas, et l'on arrive aux formules suivantes :
X?''" = (- 1)-'- ^' J'I^yZl (5'"-'' [Q'-- + Q-/.1 P'i ?>' + Q--'.2 P'^P^ +•••]
On peut remarquer que, si l'on développe suivant les puissances de e les quantités p = ^== et v' == isj\-e\ X;'" sera de l'une des formes
Proposons-nous comme exemple de calculer XJ'' au quatrième ordre près inclusivement; on a ici
m = i, «=r2, ï = /n = i. La formule (E') donne
on trouve, d'ailleurs,
Q; = i5 + 6v'+ lv'2;
v' = v/7ir7^^ -^ =r -2[3^ + . . . ;
c'est le résultat cherché.
100. On a vu, dans les Chapitres XIII et XV, que les quantités -> m — ^,
w — t, (-] cosqw, (-] s'inqw, où p et q désignent des nombres entiers positifs ou négatifs, peuvent être développées en séries convergentes suivant les sinus et cosinus des multiples de l'anomalie moyenne ^. Ces séries convergent pour toutes les valeurs de l'excentricité comprises entre o et i ; leurs divers termes sont, les uns positifs, les autres négatifs. Si on les groupe autrement, la convergence peut ne pas subsister.
Il y a lieu d'examiner ce qui arrive quand on ordonne les séries par rapport aux puissances de l'excentricité. Laplace (^ a montré le premier que les séries ne restent convergentes pour toutes les valeurs de l'anomalie moyenne qu'autant que l'excentricité est inférieure à 0,6627 C'est une question importante;
car, dans la théorie analytique des perturbations, on est obligé de négliger les puissances des excentricités à partir d'un certain ordre, et c'est réellement suivant les puissances de ces excentricités que l'on ordonne les calculs.
Pour traiter le problème, nous nous appuierons sur les résultats, aujourd'hui bien connus, concernant la convergence de la série de Lagrange.
Soit l'équation
(i) z~-a — af{z) = o,
dans laquelle a, a et z désignent des quantités réelles ou imaginaires; soit S un
(1) Mécanique céleste, t. V, Supplément.
CONVERGENCE DES SÉRIES DU MOUVEiMENT ELLIPTIQUE. 263
contour fermé, tel que l'on ait sur tous ses points
mod •" ^ ' < I ;
nous supposerons la fonction/(s) holomorphe dans tout l'intérieur de S.
On démontre (^voir le Cours de M. Hermite à la Faculté des Sciences de Paris, 3* édition, p. 167; 1886) que l'équation (1) admet une racine z et une seule dans l'intérieur de S, et, en désignant par 11(5) une fonction holomorphe quelconque de cette racine, on a ce développement de 11(5) en série convergente suivant les puissances de a :
Nous prendrons pour l'équation (i) l'équation de Kepler (2) u — Ç — esinMnzo,
dans laquelle nous supposerons '( et e réels.
D'après ce qui précède, si l'on peut trouver un contour fermé S sur tous les points duquel on ait
(û) mod -=6 mod =<i;
l'équation (2) admettra une racine m, et une seule, dans l'intérieur de ce contour, et l'on aura en série convergente
Voici comment M. Rouché arrive à trouver la plus grande valeur de e pour laquelle la série (4) reste convergente, quelle que soit la quantité réelle t.
Soient A le point de l'axe des x dont l'abscisse est ^ et Mie point dont l'affixe est u. Prenons, pour le contour S, une circonférence de rayon p décrite de A comme centre. Faisons mouvoir le point M sur cette circonférence et désignons
par 9 l'angle que fait Je rayon AM avec l'axe des x\ posons d'ailleurs ^- 1 = i. Nous aurons
La condition (3) reviendra à
(5) -modsin(Ç4-pE'9)<i.
Soit F(p) le maximum du module de sin(^ -+- pE'*'') quand 9 varie de o à 271 et que C prend toutes les valeurs réelles possibles; si l'on donne à e une valeur telle que l'on ait
la condition (5) sera vérifiée et la série (4) sera convergente pour toutes les valeurs réelles de "C.
Si l'on détermine ensuite la valeur p^ du rayon p de manière que l'expression
yj-^ soit la plus grande possible, et que l'on fasse e, = i^f^' ^^ série (4) sera
certainement convergente quand on aura
e<ei.
11 faut trouver d'abord l'expression de F(p). Or le carré du module de sin(^ -+- pE'^P) est égal à
sin(Ç-i-pE'î')sin(Ç + pE-'?) = sin(C + pcosep + i'psincp) sin(C + pcos9 — fpsin9)
, =: COS^(ip sm9) — COS^(Ç + P COS9). .'
On aura donc
modsin(Ç4-pE'?) = 1/ ( ) — cos2(Ç + p coscp).
Le maximum de cette expression, pour une valeur donnée de p, aura lieu
quand ( ) sera le plus grand possible, c est-a-dire pour sinç = i,
et qu'on aura en même temps
cos2(Ç + PCOS9) = o, cosÇ — o, Ç = ±-.
Il viendra donc
