i — I ) cK
et, pour m impair,
«'«'"?= ^^=^^ [sin.^C- -%in(m-2)Ç4-^^^^
On en tire aisément
—i — — - -^j^—î /?^"'"'sinmÇ (/n — 2)"'-^s\n{m — 2)Ç
+ ^^^^^('^-4)— sin(m-4)Ç-...];
cette formule convient aux deux cas de m pair ou impair; seulement, elle se termine au terme en sin2^ dans le premier, et au terme en sin(^ dans le second. On trouve de même
(m — 4)"'-2cos(m — 4)Ç — ... 1,
où l'on doit s'arrêter au terme en cos2(^ si m est pair, et au terme en cos^ si m est impair.
En ayant égard aux formules (6) et (7), on obtient ensuite
u — K ^ e sinK -i sin2Ç -f-,
j j m'"-' sinmÇ — — {m — 2)'"-*sin(m — 2)^
(;n 4)/«-isin(m — 4)Ç — ... 1,
- =: I + e COS t, COS 2 Ç — ,
VI (m — I )
m"^"'^ COS m Ç — — ( m — 2)"*-- cos (m — 2 ) Ç
(,n 4)'«-2cos(m — 4)Ç . . 1
102. C'est Laplace, avons-nous dit, qui a trouvé le premier la limite e^ de l'excentricité pour la convergence des séries ; son analyse est très remarquable. Disons quelques mots de la marche suivie. Laplace était arrivé facilement à trouver les expressions générales des coefficients de e"* dans les formules (8) et (9). Considérant le dernier de ces coefficients, il remarque qu'il prend sa
plus grande valeur absolue pour ^ = -> quand m est pair; il est alors égal à
A,„ = - /'" , Jm^»-^+"^(m-2r-^+^^^^~'^m-4)"'-- + ...].
Laplace trouve ensuite, par un chemin assez difficile, cette expression approchée de A,„ quand m est très grand
0) étant déterminé par la formule
(II) llZ^ ^j;i-2to.
Si la quantité
surpasse l'unité, l'expression (lo) de A,„ deviendra infinie avec m, et la série (9) sera divergente. La limite des valeurs de l'excentricité qui font converger cette série sera donc
('^> '^= (i-2co)E •
Si l'on tire de (11) la valeur
pour la porter dans (12), il vient
2 vw(l — &)) e — — ï — ^ '-,
d'où
En portant ces valeurs dans la formule (i i), il vient
on retombe bien ainsi sur l'équation déjà trouvée.
Laplace arrive ensuite au même résultat en partant de l'expression du coefficient de e"* dans la formule (9).
C'est Cauchy qui a donné une démonstration plus directe et plus rigoureuse
des résultats de Laplace; M. Rouclié a simplifié à son tour la démonstration de Caucliy.
Nous renverrons le lecteur à une Note intéressante de M. 0. Callandrcau (^Bulletin astronomique, t. III, p. 528); l'auteur considère le coefficient de e'"
dans le développement de - suivant les puissances de e; il arrive d'une manière très simple à l'expression asymptotique de ce coefficient, et il en déduit facilement la limite e,.
103. Nous croyons devoir donner, en terminant ce Chapitre, quelques indications sur d'autres expressions asymptotiques. Reprenons le développement périodique
- = Co-+- Cl cosÇh-. . . + C,„cos/«C + . . . ;
le coefficient C,„ est une fonction de e, et l'on peut se proposer d'en trouver l'expression approchée lorsque m est très grand.
Laplace a traité cette question {Mécanique céleste, t. V, Supplément), et il a trouvé que, pour m très grand, on a approximativement
» 2(i — e^)* f eE*/i-
La même question a été traitée plus complètement par Carlini, et surtout par Jacobi {Astronomische Nachrichten, n°* 665 et 709-712). Considérons en second lieu le développement
- j =Fo + Fi cosÇ-t-. . . + F„, cos/nÇ + . . . ,
d'où l'on passe aisément à celui de l'équation du centre. Jacobi a donné pour les coefficients C,„ et F^ les expressions asymptotiques suivantes
C„. = - . (tang l tE-A'" l/^ r, - ^^— f. V) + • ■ -1 .
\ "2 ' / V 2 7:/?i'* L 8/?icos9\ 9008-^9/ J
F,„ — --^ { lang - 9 E'^''^? ) " ( i + ^— — i / ^ h . . . ) ,
cos 9\ ° 1 ^ J \ 3 cos 9 y t: m cos 9 /
où l'on a fait
e =z sincp.
On voit immédiatement que la première partie de l'expression de C,„ coïncide
avec celle de Laplace. Dans le tome XVII àes Mathematische Annalen, M. Sclieibner a calculé, dans les expressions asymptotiques deC,„ etF,„, les coefficients de puissances plus élevées' de -=» et il a résolu le même problème pour les dévelop-
pementsde(^) cosqw Qii-\ ûnqw.
Enfin, M. Flamme, dans une Thèse soutenue en 1887 devant la Faculté des Sciences de Paris, a trouvé par une méthode rigoureuse fondée sur de belles recherches de M. Darboux (*), les expressions asymptotiques d'autres développements qui jouent aussi un rôle dans la théorie des perturbations.
(') Mémoire sur V approximation de fonctions de très grands nombres {Journal de Mathe'matiques , 3" série, t. IV, 1878).
SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES QUI SE PRÉSENTENT DANS LE DÉVELOPPEiMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
104. Soient ia et la! les grands axes des orbites de deux planètes; nous aurons, dans le développement des fonctions perturbatrices, à développer suivant les cosinus des multiples de la quantité réelle ^ les expressions qu'on
déduit de la suivante
( a^ + a'2 — 2 aa' cos 4^ )-*,
en donnant à f les valeurs -j -)-> -j —
Les fonctions ainsi obtenues sont des fonctions périodiques de ^^ à période 211 ; elles sont paires et finies pour toutes les valeurs réelles de 'j^, si a est différent de a'. Nous pouvons donc poser
-i 1 (a2+a'2— 2aa'cos4') ^ = - A^"^ + A'*^ cos^j^ + A'^^ C0S2v|;+. . .,
ou bien, en convenant de prendre A^"^'^ = h- A^'',
(a^-i- a'2— laa' cos^') ^ = 7 X ^"^ cosf J^ ; faisons de même
-^ I v^ aa'{a^-\- a'"- — 2 aa' cos ^];) ^ ~ - X I^^'^ cosf^',
a2a'2(a2+a'2— 2 aa' cos 4^)"' — - ^ C^'^ cosi^p,
H-oo
a?a^^{a>-\- a'^— 2aa'cos^];) ^ = - X I^"^ cosi']>,
En supposant a<Ca\ faisons — , = a; a sera donc compris entre o et 1 ; la
fonction
(1 + a*— 2acos4')~''
pourra être développée suivant les cosinus des multiples de 'j'. Nous poserons
(iH- a^— 2acos(|;) ^ =- > c'') cosiil;, c^-') =-4- c^'^,
(i + a^— 2acos4') ^ ==- X ^^'^ cost^', e(-') =+ e^^ , (i + a2 2acos^|>)~^ — - V /(')cosf^j>, /(-'^ = +/('),
et, en général,
(A) (i + a^— 2aC0Si];)-^-— i ^ ifi^'' COSr-]; = -lfi>,^«' + lfi>^*^ COSi]; +... + lft4'>COSit];-4-.. .
Les divers coefficients d]4'' sont des fonctions de a; on aura
En faisant dans (i) a =^m' et comparant à (2), on trouve aisément
(3) a'A('■) = 6('•^ «'B(') — acC), a'C^') = a^e''^ a'DC) = ay('), '
Les fonctions A'", B''\ 0'\ D^'', ... sont donc des fonctions homogènes de degré — I de a et a' qui se ramènent aux fonctions lOjf de la seule quantité a.
