Cherchons l'expression analytique de Di>f' . Posons

d'où

2C0S4' = - + S~S 2 C0Si4'=: 2'+5-',

(i — a5)(i — ax;-i)= i + a^— 2a COS^/.

La formule (A) deviendra

(i — az)-" (i — az-')--" =z - ai'^o) j l^i,(i) (^ + ^-i) ^ . . . ^ 1 ,^.,(/) (^,- j ,/) ^.

OU bien

(4) (i-ax.)-Mi-a^->)-'==^ 2 ^'''-^"-'■-

Or, le module de z étant l'unité, az et as-^ ont des modules égaux à a, par suite inférieurs à l'unité; on a donc, en séries convergentes,

, , , s s{.S-hl) , ,. .9(^+ l)(.Ç+2)...(,S4- «■— l) . .

■(i — as)-* =i + -as -h— -a^z^ +...-h^ '-^ -^ — i-^- ^'a's'+...,

(i — as M-*=i + -as-^H ^ -a^z-^ +. . . + -^ — ^ — ^ ^ a's-'-h ....

Le coefficient de z' dans le produit de ces deux séries sera, d'après la formule (4)> égal à -i)bj"; on trouvera ainsi sans peine

En calculant directement -ii'4", on voit que la formule précédente s'applique

pour I = o a la condition de remplacer -^- ^ — -. par l unité.

On aura, en particulier,

/ I ,,,, 1 .3.5. . .(2 « — i) T I 2i-hi ,, 1 .3 (2/+ i) (2/+ 3) , 1

i- b^'^ = y—^ -. — a' iH -. — - a- H y j — -. — , ; . — a^ 4- . . . L 2 2.4.0. ..2f I 2 2iH-2 2.4 (2f + 2) (2i H- 4) I ,,, 3.5.7. ..(2i+i) T 3 2i + 3 , 3.5 (2t + 3)(2/-f-5) , "1

On voit que les coefficients des mêmes puissances de a^ sont plus grands dans c''^ que dans b^^^ ; la convergence de la série qui donne a)b"' diminue quand s augmente.

Pour i=o, il faudra, comme précédemment, prendre égaux à l'unité les coefticients qui précèdent a' dans les seconds membres.

Voyons comment converge la série

qui figure dans le second membre de la formule (B). Nous avons ^^ ■'^(■y + O- . .(s-h n — i) {s-hi){s-{- /-i-ï)...(.yH- i -h n ~ i) ^^

d'où

Un ~ n-^i i + n-hi '

pour n infini, ce rapport tend vers a^ qui est plus petit que i, et la série est convergente. Tous les termes de cette série étant positifs, la formule (B) montre que a)'4" croît sans cesse quand a croît lui-même de o à i ; pour a = o, on a d'ailleurs

MV;^ = 2 et ^\V/^ = o pour />r.