Nous allons exprimer Dî>f par une intégrale définie
Puisque iP^" est le coefficient de cosï^^ dans le développement de l'expression
(14- a^— 2acosp)-^
la formule (5) du n^ 81 donne
cette formule s'applique aussi pour i = o. On aura, en particulier,
COSiCp
(i + a^ — 2(X cos^y
J^ (1 + oc^— 2a cosi];)^
En partant de ces expressions, on démontre facilement que ^"\ d'\ ... sont infinis pour a = i ; en effet, on trouve, pour cette valeur de a,
' sin -!-
I /"■ cos/4^
I Cl n3 T
L'élément différentiel de chacune de ces intégrales est infini à la limite inférieure, et l'application d'une règle bien connue de Calcul intégral montre que les intégrales elles-mêmes sont infinies.
107. Nous allons faire connaître une autre expression de 6''^ par une intégrale définie.
La première des formules (b) nous donne
1,,., .[i .3. . . (21 — ^i) ii.3...(2i + i) „ 1.3 1.3. ..(2/ -4-3) ,
les coefficients de a% de -a^, ... s'expriment par des intégrales définies, en partant de la formule connue
On trouve ainsi
=za^ I sin^' (jj ( I + - a^ sin^ ^j; H — '-j y} sin* ^^ + . . . j d']^. On a d'ailleurs
il vient donc
(d) U^^—-cf} I ^ ^dd).
En comparant les formules (c) et (d), on trouve cette relation intéressante
,/(, V I H- a^ — 2acos4' ^/o yi — a^sin^ij'
En faisant dans (d) « = o et ï = i , il vient
rf4>
oc- sin^tj'
Si donc on désigne, suivant l'usage, par F, et E, les intégrales elliptiques complètes de première et de seconde espèce relatives au module a, on aura
bw —
n Cf.
Or Lcgendre a donné des Tables étendues pour le calcul numérique de F, et de E, {Exercices de Calcul intégral, t. III, p. i25 et suiv.); l'argument, qui est arcsinA-, ou ici arcsina, varie de dixième en dixième de degré depuis u° jusqu'à 90°; les Tables donnent logF, et logE, avec 12 et \l\ décimales.
On a donc le moyen de calculer très rapidement les valeurs numériques de 6^"' et U^^ pour une valeur donnée de a.
108. Nous allons chercher une relation entre a)i)f , 1^4' *' ^^ ^4'~*'- Partons de la formule générale
nous en tirerons, en différentiant par rapport à^,
(7) '''[^ + ^'-'^(-' + :-)]"~X'"^)"2ll^'^'''^"^'""''
d'où, en ayant égard à (6),
+ 00 +ao
En égalant dans les deux membres de cette équation les coefficients de s'~', il vient
sa [Db<'-2' — a)>,l/'] = (1 + a^) (i - I) ^o^'-i' — a [(^ 2) Dl^'-^' + iDbf J,
d'où
(F) a)î,y)= izil (^« + ij a)i,ri) ^i^- ii'4'-^'.
Cette formule est très commode pour le calcul numérique; elle permet de déterminer de proche en proche oiî^^', Di,i", . . . , connaissant uî,^*" et dî,^' que l'on calculera directement par la série (B), ou par une des autres formules qui seront données dans la suite de ce Chapitre.
La formule (F) donnera, en particulier,
è(o = Vl — ?£^,u--i) ?.'^J bii-2)
"2.1 — I -il — I
en faisant
Ayant donc déterminé 6^"^ et ¥^^ par les formules (e) et les Tables de Legcndre, on calculera ainsi de proche en proche ¥^\ U^\ ... ; on vérifiera l'ensemble du calcul en déterminant directement la dernière transcendante Z>*'^ dont on a besoin par la première des formules {b). On devra remarquer que la précision diminue avec le nombre des calculs, et que, si l'on veut avoir U'^ avec un assez grand nombre de décimales, il faudra en prendre davantage dans U^^ et U^\
On aura de même
109. Il est facile d'exprimer 1)1)^' en fonction de deux des transcendantes qui se rapportent à la valeur 5 + i de l'indice s. La formule (6) donne en effet, en y changeant ^ en .9 f- 1,
après quoi l'équation (7) devient
SCC\ I -
Égalons dans les deux membres les coefficients de s'^S et nous trouverons
En appliquant cette formule, on pourrait donc obtenir successivement
les quantités e'') en fonction des /^'\
mais il vaut mieux suivre la marche inverse et, prenant comme point de départ les fonctions U'^ qui jouent le rôle le plus important, chercher à en déduire successivement les é^\ puis les é'\ et enfin les/^'\
La formule (F) donne d'abord, en y remplaçant i et s par i+ i et ^ -h i ,
(8) « iMS" = i(>^c^)^U-(i + s)a*^
portons cette valeur de a)î)i+V' ^^"s (G), et nous trouverons, après réduction,
(9) ilby' ^ s ^^^H';7'-(i + a^)Dbl';i,.
d'où, en changeant 2 en î 4- I ,
(10) l)î>''"*^*'r=.S ^^ î^ '- itl .
Les équations (8), (9) et (10) permettent de déterminer les trois inconnues ^'4+V'' ^Ci ei iiî>l7/' qui y figurent au premier degré; (9) et (10) donnent d'abord
2 <x Di.<';- ' ) := ( I + a^ ) Mhlfl 1 + '—^ il'4'' , (I + a-) yiVj^,''= 2cc\i\.'Jl,--~'^'- al'4''+»';
en portant dans (8) ces valeurs de <7/' et d'^V, on trouve, toutes réductions faites.
Cette formule résout la question; mais on peut obtenir des résultats plus satisfaisants au point de vue des calculs numériques en procédant comme il suit ; changeons dans (H) «en — ï-i, et nous trouverons
(H') a)y'>i'- 2(^'+^)a^tH''-(i'-5 + i)(i + a2)il'4'^i'
Nous tirerons ensuite aisément de (H) et (H'),
1 2 L s+i 5+1 j 25(i — (xy
Ce sont là les formules dont Le Verrier fait usage pour calculer numériquement les 'i^os+i en partant des iib^. On trouvera, en particulier,
