i ^i—oC-y y^~i i-\- 1 I

Cette formule importante est due à Legendre; si on la compare à (B), on voit que le facteur '^^ est remplacé par ^]J^ qui est petit quand i est grand ; de même -^q:^— est remplacé par^-^; la formule (L) sera donc beaucoup

plus avantageuse que (B) pour les calculs numériques, si i est assez grand. La série qui figure au second membre de l'équation (L) procède suivant les puis-

28o CHAPITRE XVII.

sances de -^3—2' et il est aisé de voir, en appliquant la règle relative à la limite

de -^ii, qu'elle est convergente tant que l'on a ^ .^< i, d'oii a < 0,707

Si nous appliquons la formule (12) à F(C — B, A, C, ^ )' ^^^^ trou-

Ci^')

verons

et, en portant cette valeur dans (12), il vient

Nous avons déjà fait usage de cette formule dans le n° 99; si nous y donnons à A, B, G, X les valeurs (i3), et que nous portions le résultat dans (u), nous trouverons

-ilH'— ■ 7 2^27^7 F(f -H I —s, 1 — s, l'hi, a-)

ou bien

u '~ 1.2. ..i (r-a2)2^-iL I ' + 1

1 , ii — s)i2 — s)(i^i — s){i-{-2—s)

La série qui figure dans le second membre de cette formule reste finie pour

a = I, si l'on a ^^ -: on voit donc qu'on a mis en évidence le facteur ^^ït-t

qui rendait Db^' infini pour a = i ; mais la série en question est encore infinie

pour a = I lorsque 5 = -• (11 suffit pour le voir d'appliquer une règle de Gauss,

Œuvres, t. III, p. 139.)

La série hypergéométrique vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre, savoir

ABF-[G-(A4-B + .)^]^--(^-^^)0=o.

En faisant a: =^ a- et donnant à A, B, C leurs valeurs particulières (i3), on trouve sans peine

Si l'on pose enfin clans cette équation, conformément à la formule (i i),

F = a-'\lb^" X par une constante, on obtient finalement

(M) (a^- a*) -^ + [a - (/4s ■+■ I) a'] -^ - [l^s'a'^i^i -~ a^)] Dî,f z= o; cette équation pourra être utile dans certaines recherches.

111. Indiquons encore pour les ift,f un autre procédé de calcul employé surtout par Hansen.

On tire de la formule (F)

d'où

en faisant Posons encore

(16) Fi'' = i±4— ^■-^,

(17) /"i'' = n''yi'',

et l'équation (i4) donnera

ou bien

d'où

OÙ l'on a posé

Supposons que yJ" ait été calculé d'une façon quelconque; on en déduira, de proche en proche, par la formule (18), les valeurs de yi'"", yi'""', •.., yl" ; on calculera par (16) et (17) les valeurs de />f, /?f"", ..., p['\ après quoi (i5) donnera

On connaîtra donc ainsi toutes les quantités ijl^i" en partant delà première iJl^"' que l'on calculera directement par l'une des formules (B) ou (L).

Il nous reste seulement à montrer comment on calculera y^"; nous aurons recours à la formule suivante {OEuvres de Gauss, t. III, p. i34),

F(A, B, C, ir) a^x

où l'on a

+ 1 -hi

les relations (i j), (i5), (16) et (17) nous donnent

d'où

j 4 2(2 ' * F (5, i -+- 5 -- I , i, oc'^ ) '

on aura donc, en appliquant la formule de Gauss mentionnée ci-dessus,

,2 is

I 4-a^ ' «la-

b^cx}

Cl a.''

(22) ( avec

"1 — • -r-r~. -T^ > Ot ;-; t—t-. r >

l{l-hi) (ï+l)(i-h2)

Lorsque /est grand, «, est petit, la fraction continue se calcule très rapidement; /tendant vers l'infini, yj'* tend vers i + a^, et la formule (21) donne

ainsi, quand / augmente, les iih"' tendent vers les termes consécutifs d'une progression géométrique de raison a.

Résumé. — Supposons que l'on veuille calculer iii^"', oP^", ...,1)1)^"; on calculera directement d'^'*' comme on l'a dit, y^" par la formule (22), puis

F^', F^^', ..., Ff, par la formule (16),

fJLi.^ iX^/\ ...,l^\ » (19).

fr", y'f\ ■■■, y'^K ' » (18),

p's'\ pr, ■■■, />!•'■, » (17).

après quoi les formules (20) donneront enfin DbJ", \t\^f\ . . . , d'4'\

112. Il sera nécessaire encore de calculer, pour le développement de la fonction perturbatrice, les dérivées successives des fonctions Di,J" par rapport à a.

On pourrait sans doute les obtenir en partant de la formule (B) différentiée plusieurs fois par rapport à a; on trouverait ainsi

' 2 dai' ^ '

en posant

^ B„ (ï4- 2/i — /> 4-i)(t +2/i— yy + 2) A„ A„

lim^rnlim^, pour « = 00.

La série (28) est encore convergente pour les valeurs de a comprises entre o et I ; mais la convergence est moins rapide. En effet, remarquons d'abord que, dans la formule (23), on doit avoir i -\~ in — p^o. L'expression de kn qui résulte de la formule (24) donne ensuite

-P ou bien

kn> 1 +

i -\- in — />4-2

On voit que k,i, qui tend vers j pour n infini, est notablement supérieur à i pour les premières valeurs de w, surtout quand p est grand. La série (23) convergera donc bien plus lentement que celle qui donne i)i.y'.

Exemple, -r- Considérons . l ; nous trouverons aisément

Ba ~ 7 A3'

Bs B4"

35 As^ 12 A4

On voit qu'il faut aller assez loin dans la série pour trouver une diminution des termes aussi rapide que celle qui a lieu pour m,'/'.

Il convient donc d'avoir recours à d'autres procédés pour calculer , ];' •

Revenons à l'équation (6) et différentions-la par rapport à a; nous trouverons

d'où

=-i— )^2:^Hî.='=^2;^'

en égalant dans les deux membres de cette équation les coefficients de z', il vient

LesD^+, ayant été calculés, cette formule résoudrait la question pour les dérivées premières des ift>^; mais il est préférable d'introduire dans le second membre les ift,^ au lieu des M\,s+i .

La formule (G) donne d'abord

et, en portant dans (N), il vient

doc

Si l'on met dans cette formule, au lieu de iP^Ï, et de iP^'+V» leurs valeurs (H) et (H'), on trouve, après réduction,

doc a ( I — oc'^)

Mais il serait difficile de calculer ainsi les dérivées suivantes.

Nous allons trouver une autre formule qui nous sera plus commode; en retranchant de (N) ce que devient cette équation quand on y change i en i — 2, il vient

~dt - —d^ = - '^"^s^^'- ^^-V'] -sl^^^r - liHVY'] + 25a [Ki,i47' - ^^r] ;

or chacune des trois parties du second membre de cette équation peut se déduire de la formule (G) elle-même, ou de cette formule dans laquelle on remplace «par i — I ou par « — 2; en opérant ainsi, on trouve

Cette formule importante ne contient pas s explicitement; elle s'applique donc aux quantités b^^\ é'\ é^\/^'K

Elle permet, en donnant à i les valeurs 2, 3, . .., de calculer de proche en

proche -7-^5 ^ -' ' ' "' -7r~ ^" fonction de -~-, de —7^ et de iiL^"', DLi ', . . .,

Lvç^, ctoc et OC Ce oc Ce ce

oPo^'; ces dernières quantités doivent être considérées comme connues par ce qui précède; il restera seulement à déterminer — 'j^- et — ^•

En différentiant (p — i) fois la formule (Q) par rapport à a, on trouvera

l en. — ;—- = a r^ ( ï + B — I ) — ; :- -— (i — p — I ) — i — \ — ■

) dot.P daP V ^^ ' docP-^ ^ ^ ' daP-^

( -^^^'-^\''~doJ^-^^P--'^-d^-\

En faisant dans cette formule d'abord

p^=i9. et f ^=: 2, 3, . . .,

puis

p:=i?) et « = 2,3,...,

on obtiendra de proche en proche toutes les dérivées des divers ordres des fonctions ift»;" en fonction des quantités connues et des dérivées des divers ordres de ifi,^"' et de -iPo*.". Il ne nous reste donc plus qu'à montrer comment on

pourra calculer —j-^ et —^f ou bien

dPbW dPb^^^ dPc^^^ dPc'-^^ c^^e^o) dPe^^^ dPfW d^f^ da-P ' doiP ' do^P ' ~~dâP~' daP ' dcx.P ' liôp' ' daP

dPb^o) dPb^^^