Commençons par -^^^ et
En faisant dans la formule (P) .y := - et « = o, puis « = — i, il vient
£/6«» afeW— è(») db<^'^ __ (xb^o)—b^'\
d(x I — a^ d(x a ( I — cf.^) '
d'où
^^ ' . ' da dot.
Ces formules donneront d'abord -^ et -^; en différentiant/? fois la formule {q), on trouve
^dp^^b(') . „ ^.clPb^'^ „ . , dp-'¥') «('-«^)^^^^^+/'('-3a^)-^^-3/>(/.-i)a-^^^^
dP-^b^')
«^^è'o) dP-'^b^'"'» dPb^^^
On tire, d'ailleurs, de {q') ^'^ -d^ --='''■ H^ -^^P~'^~d^[^'
dP-^b^o') __ dP-^b^^^ dP-^b^^>
docP-' ~ ^ ~d^'' ^ ^P ~ ^^ dxP- '
grâce à ces deux dernières formules, (25) donne
1 , ,. û?/'+i^>(') .„ ^ dPb^'^ ^- , ^ dp-'b('^
,dp-^b('^ , ^dp¥') -^P'^P-^)-d^jr=r-iP^^)-â^'
Les formules (/')et(r') donneront, de proche en proche, les dérivées secondes,
troisièmes, etc., de ^'"^ et b^'^; ^^^ n'est pas donné par la relation (r'); mais on trouve directement, en partant de (q) et (q'),
doc^ ^ ' doL
114. Il nous reste enfin à indiquer le calcul des dérivées des divers ordres des fonctions c^, é'\ e'»', é'\ /»), /'), Les formules (Jî) donnent
En différentiant ces équations, par rapport à a, une fois d'abord et ensuite p — I fois, on en tire aisément
Vd^ + -«r^J = ^r-i^)^ [-^ - -^J + r=^ [c(o) ^-c(»],
I — af \j~daP daP J'
do.P daP ~ i + a [ ofa/»-! a?a^-i~ J ~ (i + a.f \ daP-^ daP-^ J
I VdPb^ dPbi^^n (i + a)* L daP ^ do^P J'
288 CHAPITRE XYII.
Ces formules résolvent la question pour les dérivées de c^'^' et c^'' ; on en trouvera d'analogues pour les dérivées de é^^ et e^*\ et de /<"' et/''^, en partant des formules (k') et (k"). Nous renverrons pour plus de détails au tome X des Annales de r Observatoire de Paris, p. 17-36, où Le Verrier a développé complètement tous ces calculs.
115. Dans le développement de la fonction perturbatrice, il nous faudra encore calculer les expressions suivantes :
aP 1 .2. .
dPA^i
.p daP
aP 1 .2. .
.p daP
aP 1,2..
.p daP
aP
dPliii)
1.2.../? daP ~ P Si l'on remarque que l'on a, à cause de a = -, >
da" ~ ô^ ~~dotf on tirera aisément des formules (3) les expressions cherchées, savoir
""^P - i.2...p docP '
,„„., aP r dPc(^^ dP-'^c^^n
'' 1 . 2 . . ./? L do.P ^ dtxP-^ J
( 1 ) \ a L ,' == cr — j—— -\- 2pa. —, -, \- pip ~ i) —7 5- -,
' 1 ,2. . ./? L "'^ daP-^
dp-'-n^) dp-^ f'^
116. Nous allons terminer ce Chapitre en faisant connaître une manière
spéciale de calculer, soit les quantités oH,^"» soit leurs dérivées des divers ordres.
Nous avons dit que les séries directes se prêtent mal au calcul des quantités
, ' ' ') mais il est possible d'obtenir un résultat satisfaisant en transformant da.P *■
ces séries.
Considérons d'une manière générale la série convergente
(26) f{cc) — A-\~Bx + Ccc^-\-J)cc'-h...,
dans laquelle nous supposons o < ^ < r. On peut écrire
comme on le voit en réunissant les termes qui contiennent A, puis B, .... Or le coefficient de A peut être remplacé par — î — ; celui de B — A, par -^—, .... On en conclut cette formule importante
ou bien
nous avons introduit l'algorithme des différences, en posant <5,A = B-A, â.B = C-B,
Nous ferons de même, dans un moment,
a^A^Ô.B-ôiA, a^B^aiC-ôiB, ...;
Appliquons la formule (27) à la série S, A + ^§,B + . . . ; nous trouverons
8) aiA + ^Ô^B+^M,G+^^ô,D+...=.A^ + ^(a,A+^a,B + ^M2C + ^'ô,D + ...) Nous aurons de même
On conclut de (27) et (28), puis de (27), (28) et (29), les formules sui- '^' - ï- ' 37
vantes :
La loi de ces diverses formules est manifeste; la dernière de toutes, qui est d'Euler, serait
On pourra employer, pour le calcul de /(x), l'une des séries (26), (27), (3o), (3i), . . . , (32), en admettant, bien entendu, que ces séries soient convergentes; il pourra se faire que quelques-unes d'entre elles soient beaucoup plus convergentes que les premières.
Appliquons ces considérations à la fonction ift,^" : si nous faisons
. 5(5 + i). . .(5 + / — i) „ s s{s -hi). . .{s-h i)
ûc = (x^, (3- = nous trouverons
a)'4'''= a'(A + Ba-+ Ca* +. . .),
oll,^') = a'-2[32A + a'|32(ai A + a^S^B + a^iC + . . .),
-1)1,^ =: a'-2[32(A + (3MiA) + a^'P*(<5oA + a^aaBHh a'*52C + . . .),
D^'"'r= a'-2(32(A + (32Ô1A + ^''d,A) + a'(3«(a3A + ocH.B + <x'$,C + .. .),
C'est en suivant cette voie que Le Verrier est arrivé à obtenir des séries assez rapidement convergentes, soit pour oJbi", soit pour '^' ; elles lui ont servi à
contrôler les valeurs de '^' obtenues par la méthode indiquée au n*' 112; pour
les détails nous renverrons le lecteur au tome II des Annales de r Observatoire de Paris, p. 10-17.
J'énoncerai en terminant un théorème que j'ai donné dans le tome XC des
Comptes rendus de l'Académie des Sciences {voir dans le même Volume des Notes intéressantes sur le même sujet, par M. G. Darboux, et M. 0. Gallandreau).
L'expression
OLP <^/"UÎ,'''
