d(XP

dans laquelle s désigne l'une des quantités -,-,-, •••, tend vers zéro pour

a < -, et vers l'infini pour a> -, quand, i et s restant fixes, p croit indéfiniment.

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE DANS LE CAS OU LES EXCENTRICITÉS ET LES INCLINAISONS MUTUELLES DES ORBITES SONT PEU CONSIDÉRABLES.

117. Nous allons chercher les expressions analytiques des coefficients du développement de la fonction perturbatrice suivant la forme indiquée au n° 70.

Considérons deux planètes P et P', les rayons vecteurs r=: SP et r' = SP' menés du Soleil S à ces planètes; désignons par a- le cosinus de l'angle PSP'. Les fonctions perturbatrices correspondant aux actions de P' sur P et de P sur P' s'obtiendront en multipliant respectivement par îm' et îm les quantités suivantes :

Ri,o

Ces quantités ont une partie commune -ri l'inverse de la distance mutuelle A = PP'; nous ferons

Ri = - =(,-2H,.'2-2/r'<7) \

et nous nous occuperons d'abord du développement de R^.

Fig. 20.

Traçons une sphère de rayon i ayant son centre au centre S du Soleil {fig. 20).

Les parties positives des axes de coordonnées la perceront en o; et j; soient NM et N'M' les grands cercles suivant lesquels la sphère est coupée par les plans des orbites des deux planètes pour l'époque quelconque /, et soit G le nœud ascendant de la première orbite par rapport à la seconde. Les rayons vecteurs SP et SP' perceront la sphère en M et M', et l'on aura

(T = cosM]Vr.

N et N' sont les nœuds ascendants des deux orbites relativement au grand cercle ooy. Il convient de rappeler que le plan de l'orbite d'une planète à un moment donné est le plan qui passe par le Soleil et par la vitesse de la planète à l'instant considéré.

Posons

^N + NG = T, ^N'+N'G = t'; MGM' = J.

La première chose à faire est de calculer J, i et i' en fonction de Ô, G', cp etç': cela revient à résoudre un triangle sphérique NGN' connaissant un côté NN' = 0 — 6' et les angles adjacents NN'G = cp' et N'NG = 71-9; les autres éléments NG = t — 0, N'G = V — 0' et NGN' = J seront calculés sans ambiguïté par les formules de Delambre

sm - sm^ —

= sm

. J (t' sm - cos-^^ —