t + t' , 9 • /i X 9 ■ ri
, sin —- tang - sin 9 — tane— sin 9',
cos-!- cos —
cos - , ,
> COS =1 + lang - tang— cos (9 — 9'),
cos- COS — 2 2
COS
ces - cos-^
7 Sin ■ =z lang - tang— sin (9 — 0').
Des deux dernières de ces formules, on conclut
lang
tang ^ tang — sin {9 — 9')
T + tang - tang J- cos(9 — 9')
Or la relation
tang/
V sin^ I + V cosa:'
dans laquelle la valeur absolue de v est supposée inférieure à l'unité, entraîne, comme on sait, pour celle des déterminations de y qui s'annule avec x, le déve-
loppement convergent
r = V sin,37 — - v^ sin2^ + 0 v' sin3^ — . . . .
On aura ainsi, dans le cas actuel,
(6) ^^^^ = lang^ tang^ sin(9— Ô')— - tang^^tang^?- sin2(9— 0')+ '
Si donc 9 et ç' sont considérés comme de petites quantités du premier ordre, la différence i — ":' sera du second, et l'on pourra prendre, en négligeant seulement le quatrième ordre,
T — r = 2tang ^ tang — sin(5 — B').
118. Soient v tiv' les longitudes des planètes dans leurs orbites (y%. 20); on aura
P rr: o^N + NG + GM, (^' = ^N' + N'G + GM', d'où
GM = ('-T, GM' = p'-t'.
Le triangle sphérique MGM' donne ensuite
a — cosMM' = CCS ( p — t) cos( p' — t') + sin ( p — t) sin ( v' — t' ) cos J, (T=:cos(p — p'+t'— t) — 2sin2- sin(p — T)sin(p'— t').
Il convient de représenter sin- par r\ et de poser
u = ^N'+N'G + GM; on aura ainsi cet ensemble de formules
\ YÎ=:Sin-, UtzrP+T'—T,
( a = cos (-j — p' ) — 2 Y}^ sin ( u — t' ) sin ( p' — t' ) . L'expression (2) de R, pourra s'écrire
(8) R.= [,-^ + r'^. - 2,7'cos(. - P')]-^ Ti + 4ri^/-/--sin(.-r-)sin(i/-T0-|-^^
Or les orbites des anciennes planètes sont peu inclinées les unes sur les autres;
c'est ainsi qu'à l'époque actuelle on a, pour Jupiter et Saturne, J = i*' 17', pour Mercure et Vénus, J = 8°46'; la plus grande valeur de J est i2°3o', et elle se présente pour Mercure et Mars. Même dans ce dernier cas, le plus défavorable, la quantité rf = sin^- est petite, et il en sera de même de l'expression
. 4in^/'/"'sin(u — T')sin(p'— t')
qui est inférieure en valeur absolue à
{r'-ry
le facteur sin^- est petit et l'autre, . ., ^^ ne prend jamais de valeurs très
grandes, parce que lés rayons vecteurs r et r' de deux planètes sont toujours notablement différents.
On pourra donc développer, par la formule du binôme, en une série rapidement convergente l'expression
[4Yî^A'A-'sin(u — t') sin((''— t')!
et la formule (8) deviendra
^^ = ^ [/•2+r'^— 2rr'cos(u — <'')] ^
— rr' [r^^ r'-— 2/7-'cos(u — p')] ^ avî^sin (u -V)sin {v'—x')
('o) \ 4-/-V-[/-2+/-'2— 2/v'cos(y — t^')]~^ 6Y]*sin-(u — r')sin^((''— t')
— /'S /-'S [ /.2 i ,-'2 __ 2/7-'cos(u — ('')] ^ 2orf sin^(u — t') sin^(p' — t')
Les quatre premiers termes du second membre suffisent pour toutes les anciennes planètes.
Si l'on considérait les planètes Jupiter et Pallas, le développement (10) ne serait pas toujours convergent; on peut, en effet, assigner à ces deux planètes, sur leurs orbites, des positions telles que l'expression (9) soit, en valeur absolue, supérieure à l'unité; cela tient, d'une part, à la très grande inclinaison de l'orbite de Pallas sur celle de Jupiter (34° environ) et aussi à la grande excentricité de Pallas (0,24) qui diminue notablement la différence r'— r à de certains moments. Il faudra donc, dans l'étude des perturbations causées par
Jupiter dans le mouvement de Pallas, employer un autre mode de développement.
119. Il faut maintenant remplacer dans l'expression (lo) les quantités r, /, u et^'' par leurs valeurs
en posant
Dans ces formules (ii) et (12), on a désigné par a, a', l et^ /' les demi grands axes et les longitudes moyennes dans les mouvements elliptiques de l'époque t-, x et y sont des fonctions connues de l'excentricité e et de l'anomalie moyenne l— xs-, elles contiennent e en facteur; de même, x' et y' dépendent de e' et de /' — xn' , et renferment le facteur e' . On a donné au n*' 93 les premiers termes des. développements périodiques des quantités x, y, x' et y'.
Les excentricités e et e' étant petites, nous développerons, suivant leurs puissances et leurs produits, les diverses parties de l'expression (10) de R, . en employant la formule de Taylor; le premier terme de cette formule sera ce que devient R, quand on y suppose
e rrr: o, e' = o
et, par suite,
Soit R„ cette valeur correspondante de R, ; si l'on fait
(I)= [a2 + a'2-2aa'.cos(/'— X)]"^,
(II) = aa' [«2+a'2 2aa'cos(^'— X)]~^ a-^^sin (/'— T')sin (X — t'), (lll) =z a^ a'^[a^ -h a'^— 2 aa'cosil' — l)]"^ 6r)^ sin^l' — r') sin^l- - z'),
on pourra écrire
(i4) Ro= (I) - (II) + (III) - (IV) + . . . .
Or, dans le Chapitre XVII, on a appris à développer, suivant les cosinus des multiples de /' — X, les fonctions
[a2 + «'2 — 2 aa' cos ( /' — X )]-^
dans lesquelles * reçoit les valeurs -j - 5 — On a posé
[«2+ a'2— lao! cos(/' — }.)]"^=r - ^ A^'^ cosi(^'— >^),
aa' [a2-+-a'2— 2aa'cos(/'— X)]"^^: -^ B(')cosi(/'— >0, (i5) / ô I ^
;=^a'3[a2-t-a'2— 2«a'cos(/' — X)]~^'=- ^ D^''^ cosi (/'— >,), L'indice i prend toutes lés valeurs entières de — qo à + qo; on a
A^'\ W\ ... sont des fonctions homogènes du degré — i de a et a'; leurs
valeurs, quand ï augmente, diminuent d'autant plus rapidement que le rapport-^,
est plus petit (en supposant a << «').
Il faut maintenant porter les expressions (i5) dans les formules (i3); on doit chercher à n'introduire finalement dans R^ que les sinus ou cosinus des multiples de /' et \\ on trouvera, dans ce but, parles formules les plus élémentaires de la Trigonométrie :
!Sin (/'— T')sin (A — t') = cos(/'— X) — cos(/'4->i — 2t'),
!sin2(/'— T')sm2(X — t')=:2 + C0S(2Z' — 2A) — 2C0S(2/'— 2t')
(i6) ( 32sinH/'-T')sin3(X — t') = 9cos(/' — >.) + cos(3/'— 3>.)
— 9C0S(^'4-X — 2t') — 3 cos(3Z' — X— 2t')
— 3cos(— ;' + 3X— 2t')4-3cos(3/' + >. — 4^') 1 ■ +3cos(^'+3X — 4t') -cos(3/'-i-3X-6t').
En substituant les expressions (if)) et (i6) dans(i3), on sera amené à une
suite de termes de la forme
cos
v^ î)^'^cosi{l'-l) = -^ D(')cos[«(^'->^)4-v]+ ^^J)^'^cos[i{l'-l)~v];
or les deux ^ du second membre sont égaux, comme on le voit, en changeant dans l'un i en — i, ce qui reproduit l'autre; on a donc
co
sv '^D^i^ cosi{l' —l) = '^B^^^ cos[i{l' ~l) -^ v],
et cela aura lieu aussi quand on remplacera D''' par C^" ou B''\ On trouvera ainsi aisément
(II)= i Yj2 2]B^'^C0S(t + l)(Z'-X)-^ ^-^2 ^ B(')C0S[(i + l)(/'-X) -1-2X-2T'],
(III)= I ■«'[ 2^ C('')cosi(;'-X)-h2]C(')cos(ï + 2)(/'-X)
(IV) = -^Y)«J92D(')cos(i + i)(/'-X)-h2D(')cos(i+3)(^'-A)
- 3 2] B^'^ cos[{i + 3)(/'- l) + 2X -- 2t']
+ 3 2] D^^') cos[(i + 3) (Z'— X) + 4X - 4t'] + 3 2 D(') cos[(i" -)- I) (/'- X) 4-4>. - 4t']
— 2]D(')cos[(t4-3)(/'-X)+6X-6T'] .
On peut dans ces ^ changer î, tantôt en t — i, « — 2, f' — 3, ou t + i, de
ma-
3oO CHAPITRE XVIII.
nière à ramener toujours sous les cosinus le coefficient de /' à être égal à i; on trouvera ainsi
+ 2] N('>cos[«(/'--X)-i-2X — 2t'] + ^ Q(') cos[i{l'-l) + 6X - 6t']
où l'on a fait, pour abréger,
L'indice i prend toutes les valeurs entières, depuis — qo jusqu'à H- qo; on voit que les quantités M''\N<'\ ... dépendent dea,a' etdeyj\ On remarquera que nous n'avons négligé que Y]^ c'est-à-dire les quantités du huitième ordre, en regardant y] = sin - comme une petite quantité du premier ordre.
Il convient d'observer que chacun des arguments de la formule (17) est de
la forme
i{l' —1) -h 2pl — ^pz' ;
la somme des coefficients de /',Xet Vest donc égale àï — (i — 2/?) —2/?; elle est nulle; on voit de plus que le coefficient de cos[i (^' — À) + 2p'k — 2/?t'] est de la forme
c'est ce que l'on vérifie aisément pour p=\,p=2.etp = 3, d'après les formules (17) et (18).
Si l'on fait h = i — 2/?, l'argument considéré ci-dessus devient
iL'—hl-{i—h)x',
et l'expression (17) de Ro rentre dans la forme suivante,
(19) B.ç>="^¥.^i''^^ cos{il' — hl—{i-h)x''\,
DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3o I
en prenant successivement
et donnant à i toutes les valeurs entières de — 00 à -h 00.
120. Il faut maintenant remplacer dans l'expression (19) de R^
respectivement par
1' restant le même ; le résultat de cette substitution changera R^ en R, .
Faisons d'abord la substitution dans K^'''^^ qui est une fonction homogène et de degré — i de a et a! , que nous représenterons par F(a, a') ; nous aurons donc, en désignant par k une quantité quelconque, et par la définition même des fonctions homogènes,
F[y^a(i + x), AV(i + x')]= ■^F[a(i + x), a'(i + x')]; d'où, en prenante; — ,,
