h x' I da

i-h x' / 1.2 da^

cette série convergera rapidement parce que -, est petit.

En remettant pour ¥(a, a') sa valeur K('■'^^ et posant d'une manière générale

(23) " I.2...P daP '

les formules (21) et (22) donneront

(x— X y .^,j) (x — x^)p -^,,. /jj

Il ne nous reste plus qu'à remplacer, dans le second membre de la formule (19), K''"''^ par l'expression précédente, et "k par >. + y, /' par /'+ y'; nous trouverons ainsi

(24) R. = 2]Ky'''(7^^^^cos[.7'-AX-(i-A)T'^

où p devra recevoir les valeurs o, +1, +2, ..., et où il faudra remplacer ensuite h et K^'*'^^ par les valeurs indiquées dans le Tableau (20) ; «prend du reste, comme on sait, toutes les valeurs entières, depuis — 00 jusqu'à +qo.

Le Verrier a poussé son développement jusqu'aux quantités du septième ordre inclusivement, en considérant v], e et e' comme de petites quantités du premier ordre; ce degré d'approximation lui a suffi pour établir les théories des anciennes planètes. On devra donc donner à p, dans la formule (24), les valeurs o, I, 2, . ., 7.

On voit que ce qui nous permet de limiter le développement actuel, c'est la petitesse des excentricités des orbites; en résumé, dans la formule (24), les indices/? et A seront limités, le premier par la petitesse de e et e', le second parcelle de y]; l'indice i prendra des valeurs qui seront d'autant moins nombreuses que le rapport —, sera plus petit.