On remplacera cos[i7' — AX— (i — h)",' -h iy' — Ay] par

cos[il' — h7^ — {i — h)r'] (cosAy cosiy' -+- sinAy sin^y') + sin [il' — hl — {i— A)t'] (sin hy cosi'y' — cosAy sin/y') ,

et(x — x')^ par

xp— - xP-^\'-+- ^^ — - xP--\'- — .

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3o3

et la formule (24) donnera sans peine

+ K^^-- [xcosAy ^^^, + xsinAy ^^i^^

, x'cosiy' . , x'siniv'"!

mi h\ r • / COSiy' ,

+ Ki''''' ^xsin/^y ^^^^ry -xcosAy

sinf'y'

(i + x')' . , x'cos/y' , x'siniv'n

p{p — i) „ , , x'^cosïy' — x^-^cosAy '^

p{p — i) „ , . , x'^sini'y' 1 n .., ,

+ -^f;^ x/--^ sinAy ^-^-j-^^^- -. . . J cos[.7'- /a - (/- /Or':

K;^'^' [ x^ sin/*y ^^, - f x/'- sin^y

x'cosi'y

piP — ^) n i • i. x'^costy'

(n-x')/^+i sin^y , /?.,„,„,.„ x'siniy'

-xPcosAy r^^^^;^ + ^ x/--' cosAy / ^" ^ .

x'"siniv' n

^^"'cosAy^^-p^^+...Jsin[i7'-/a-(/-/i)T':

On trouvera cette formule écrite tout au long, jusqu'à /? = 7, dans les pages 355-357 ^^ tome I des Annales de r Observatoire.

On voit qu'on est ramené à trouver les développements, suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes, de facteurs rentrant dans les

3o4 CHAPITRE XVIII.

quatre types suivants :

p{p — i)...{p — q + \) x^gsin^y

Ces quantités ne dépendent chacune que de ce qui concerne une seule des planètes.

Les formules (36) et (Sy) d'une part et (38)ct(39) de l'autre, du n® 94, donnent ces développements (dans les deux dernières, il faut accentuer les lettres).

122. Voyons maintenant quelle sera la forme finale des divers termes de R, ; nos facteurs ^sont développables, comme il suit, en séries procédant suivant les sinus ou les cosinus des multiples des anomalies moyennes 'C et '(' :

^' = ^ 0i:,'cos/i'ç', ^; = 2] ^'iSin^^'C;

3L et ^, sont de la forme e"'*'^Pcp(e'^), p désignant un entier positif ou nul, et (p(e-)une série convergente procédant suivant les puissances de e-; de môme X' et X, sont de la forme e'"''^^P't]>(e'^), p' désignant un entier positif ou nul. Ces remarques, qui résultent de ce qui a été dit au n° 94, nous seront utiles dans un moment.

Portons les expressions ci-dessus de ^, ^, , ^' et ^', dans le terme général de la formule (25); nous trouverons

K^'''''(3î, é)T;,'cosnCcos/i'Ç' + ^%i3i:,;sin«Çsin/i'Ç')cos[iY' — A}. — (i — /Ot'] 4- K^''*' ( y^i SIL' sin wÇ cos/i'Ç' — X SK.\ cosnK sin n' C) sin [fV — hl — {i~ h)z'].

Cette expression, dans laquelle figurent des produits de trois lignes trigonométriques, se transforme aisément, par des formules bien connues, dans la suivante, qui ne contient que des cosinus :

7 K^J^''\3fLSIL'-~DZidX.\ — Xi^'+ SiXoSK.\) cos[il' — hl — {i— h)x' -h nK -^ n'^']

7 K'y" (3r,X'+ 5iToi3^\ — 3b,0i:>'— 5P:oT<.\ ) cos [iT ~-hl — {i — h)r' + /i?— n'^']

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3o5

On a

Ç'rrr/'-GT', Ç =r /- 5T = X + T - t' - GT.

Il convient de faire

(27) w = GT-4- t' — t; on aura

(28) Ç = X-CO, Ç'^^'-gt';

en portant ces valeurs de "C et C dans l'expression (26), on pourra l'écrire ainsi :

^ tK)/''" (X — Xi)(3^'+3b;)cos[(i + n')^'+(-/i + /i)X- n(^ — n'zs3' — {i—/i)z']

■ ^ K^f'^" (X + é)b,)(^'— ^1) cos[(/ - /i') /' + (— A — n)X + /2 co 4- /2'CJ'- (i — A)t']

- ^ K^''''' (3T;, - 3t,i ) ( 3Î>' — 5^) cos[{i — n' ) l' -^ {- h -h n)l — nui -h n'js' — {i~ h ) t']

- - Y,f"\SKo 4- SKo^){^' 4- 51:,;) ces [(i 4- /i') /' + (— A — /i)X H- w w — /i'gj' — ( i — A )t'] ■

Le développement de R, résulte immédiatement des formules (25) et (29). On voit qu'il ne contiendra que des cosinus d'arguments D renfermant les cinq quantités X, /', co, xs' et t' de cette manière

(3o) D = a}^-}-a';'+(3w + [3'cT'— 2yT',

en désignant par a, a', [3, p' des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, et par y un nombre entier positif ou nul (car on a vu que i^=zi — h ne doit recevoir que les valeurs o, 2,4, . . .). Jl convient de remarquer dès à présent que la somme algébrique des coefficients a, a', [B, P' et — 2 y de \, l' , co, xs' et 1' dans D est nulle; cela se voit immédiatement sur l'expression (29); pour le premier des arguments qui figurent dans cette expression, on a, en effet,

et la même constatation se fait pour les trois autres arguments de rexpression(29). On peut d'ailleurs démontrer autrement la relation générale

en remarquant que la fonction R< , qui représente l'inverse de la distance mutuelle

des deux planètes P et P', doit être indépendante de la situation de l'axe des x

3o6 CHAPITRE XVIII.

dans le plan fixe des ooy; il doit en être de même de chacun des arguments D. Or, si l'on fait tourner dans ce plan l'axe des x d'un angle quelconque [x, les quantités /, /', cr, m', t, t;' augmenteront toutes de a: il en sera de même de X et (0, en vertu des relations

^ X = ^ + t'— T, w^t^gt + t' — t;

alors, d'après la formule (3o), la variation de D sera égale à

fjL(a4-a'4- j3 + (3'— ay),

et, cette quantité devant être nulle quel que soit [x, la relation (3i) en découle immédiatement.

123. Nous avons maintenant à nous rendre compte de la composition générale des coefficients de cosD dans le développement de R,.

Considérons pour cela la première ligne de l'expression (29) : <3î> — 3^,, qui dépend seulement de e, ne contient, d'après une remarque faite au commencement du numéro précédent, que des puissances de e de la forme e""^*P, p désignant un nombre positif qui peut être nul; d'ailleurs, le coefficient de co dans l'argument correspondant de la première ligne de l'expression (29) est éga/à — n, et sa valeur absolue est -t- n. Donc, le plus petit exposant de e dam, le, coefficient de cet argument est égal à la valeur absolue du coefficient/de /w, augmentée d'un nombre pair qui peut d'ailleurs être nul. On peut faire la même remarque pour les trois autres arguments de l'expression (29), et aussi pour ce qui concerne les exposants de e' comparés aux valeurs absolues des coefficients de Gj' dans D.

En décomposant donc le coefficient de cosD en diverses parties contenant chacune un produit tel que e"e'"', et se reportant à la formule générale (25), on pourra dire qu'un terme quelconque du développement de R^ est de la forme

[2CpK<y"] xe"e'"'cosD,

où Cp désigne un coefficient numérique, et H et H' ont la signification suivante :

H = I [3 1 + un nombre pair,

H'r= I(3'| H- un nombre pair,

en représentant, suivant l'usage actuel, par | p| et | p' 1 les valeurs absolues de P et fl'.

Si maintenant on remplace K^"^' par