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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 'do']

et que l'on tienne compte des formules (20), on trouvera que K'^'^' se compose d'une suite de termes, tels que

i .2. . .p daP

daP '~^" '

multipliés par des puissances de y] dont les exposants sont 2^(, 2y4-2, ...; cela résulte des formules (18) et des remarques qui les suivent.

Donc, en considérant à part les diverses puissances de y] et envisageant le développement de «'R, au lieu de celui de R,, on pourra écrire ainsi la forme générale de ce développement

et l'on aura

j «'R,r=2Nie"e'«'Y]fcosD,

H =: I (3 I -I- un nombre pair, H'=r I [3'| 4- un nombre pair, F = 2 y -h un nombre pair.

Enfin le coefficient N, sera de la forme

(33) Nir=V(^')a'A(^')H-V'/'a'AV'+V'/'a'A'/'4-...;

VJ/' est un coefficient purement numérique indépendant de a et a' ; AJ/' peut être remplacé par l'une des quantité^ BJ/*, CJ/*, UJ/', dont on a donné les valeurs au n" 115 et qui se trouvent ainsi constituer la base fondamentale du développement de «'R,. On remarquera d'ailleurs que a'A^^^ est une fonction homogène

et de degré zéro de a et a', ne dépendant donc que du rapport — «

L'ordre du terme général du développement de a'R, défini par les formules (32) et (33) est égal à

(34) H4-H'4-Fr=|[3| + |[3'|-i-2y + un nombre pair qui peut être nul.

On peut donner de cet ordre une autre expression très utile, en remarquant que la somme des valeurs absolues de plusieurs quantités positives ou négatives est égale à la valeur absolue de leur somme algébrique ou bien à cette valeur augmentée d'un nombre pair.

3o8 CHAPITRE XVIII.

On déduit de la relation (3i)

2y — (3 — (3' = a-ha',

et l'on en conclut, en observant que y est positif,

(35) 2y + I (3] + I (3'| r= I a + a' I H- un nombre pair.

De là cette seconde règle :

L'ordre du coefficient de cosD dans un terme quelconque du développement de «'R, est égal à la valeur absolue de la somme algébrique des coefficients de /' et X dans l'argument D, ou bien à cette valeur augmentée d'un nombre pair.

Application de ce qui précède. — Considérons les termes séculaires du développement de a'Vn, pour lesquels on a simultanément a = a' = o; l'application de la dernière règle montre que ces termes seront des ordres o, 2, 4» ••••

Considérons en second lieu les termes suivants

Cl cos(— 2A + 5/'— 3w),

C2 COS(— 2>i + 5/' — 2W — TS'), C3 COS (— 2 >L + 5 /' — 0) — 2 t' ),

qui jouent, comme nous l'avons déjà dit, un rôle considérable dans les théories de Jupiter et de Saturne.

On voit immédiatement que C,, C2, C3, ... sont d'un ordre au moins égal à la valeur absolue de — 2 + 5 = 3; ils sont donc au moins du troisième ordre. De plus, la présence de — 3co dans le premier argument indique que C, doit contenir le facteur e^; C2, C3, ... renfermeront de même les facteurs e^ e' , ey]S

Nous remarquerons enfin, en terminant, que si l'on ne voulait pas conserver sous forme de monômes les coefficients de cosD, on pourrait présenter comme il suit le développement de a'R, :

a'Ri=:^ OltcosD,

$ désignant une série ordonnée suivant les puissances de e^, V^ et y]'^ ; les coefficients des puissances et produits de e^ e'^ -/j^ seraient des fonctions de -,• Nous allons donner ici le développement de R, jusqu'aux termes du second

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Sop

ordre inclusivement :

^^ = 11 \l^''^ - \ ^'B'''"'' + ^-t^' (- 4^2 A('^ + 2A'/' + 2A;''o1 cosi{l'-l) + ^e ^ [— 2 iAC) - A'/'] cos [il'—{i—i) X - w] + - e' ^ [(2i + i) A(') + A'/'] cos [(i + i) /'- a — cj'] + ge2 ^ [(^P--5i) A(') + (4i- 2) A'/' + 2A'/'] cos [il'- {i- 2) X- 2w] + 7 ^e'2 [(4«- + 2 i) A(') - 2 A'/' — 2 A'/'] cos [(t + i) /'— (/ + i) X — m' + oj] + %e'5] [(— 4i'' — 20A(')+(-4i — 2)A'/'-2A^'']cos[(i+i)Z' — (/-i)X— m'- + g e'2 ^ [(4i''+ 9^'+ 4) A('^ + (4^ + 6) A'/' + 2 A'/>] cos [{i + 2) /'- a - 2m'] H- - Yî^ ^ B('-i) cos [iT— (i — 2) X - 2t'].

Dans cette formule, Tindice i doit prendre toutes les valeurs entières, de — GO à -t- ce ; Aj" et A^" ont la même signification qu'au n" 115.

Pour l'expression complète du développement de R, jusqu'au septième ordre inclusivement, nous renverrons au Tome I des Annales de V Observatoire, où la formule qui donne R, occupe les pages 277-330; elle ne renferme pas moins de 469 termes.

Dans une Thèse soutenue en i885 devant la Faculté des Sciences de Paris, M. Boquet a étendu le développement de R, jusqu'aux termes du huitième ordre inclusivement {voir le Tome XIX des Annales de V Observatoire).

124. Il faut maintenant passer du développement de R< à ceux de Ro,, et de R, 0.

On a, par les formules (i),

(38) Ro,i=:Ri-^-^a,

Occupons-nous d'abord de Ro,, : quand on néglige les excentricités, la quantité — ^cr, en ayant égard aux formules (7), se réduit à

^cos(/'-X) + ^Yî^sin(X-T')sin(/'-r')

=--- -^COS(/'-X)+ 4-y)2cos(/'-X)- 4iVÎ^C0S(/'+X-2T').

3lO CHAPITRE XVIII.

Or, si dans les formules (17) et (18) on suppose

et tous les autres coefficients A''\ B''\ G''\ D''^ nuls, on trouve

tous les autres coefficients M"\ N''\ P^'\ Q^'^ sont nuls, et il vient

Ro = [M(»' -t- M(-^'] cos(/'- A) + N(') cos(Z' + A - 2t'),

Ro= f--^-H--^YîÂc0S(/'-A)-4-^'C0S(/'+}i-2T').

C'est précisément l'expression (4o)-

Tous les raisonnements et calculs faits dans les n°* 120, 121 et 122 ne supposent qu'une chose, c'est que K"''* est une fonction homogène et de degré — i de a et a'; on pourra donc les appliquer dans le cas actuel; seulement, on devra remarquer que l'on a

dk^ dkS-^} 1 da Oa a'^

et que les dérivées suivantes sont nulles.

Il suffira donc d'appliquer la formule (37) en donnant à l'indice i dans les divers termes les valeurs + i et — i et prenant

la

A'il' = A'-l'=:- 4^» A"'r^A',-''= O.

On trouvera ainsi, en négligeant toujours les termes du troisième ordre

^\Ro,i-Ri)= r-H-^(e'-+e'2)4-ri^| cos(/'-A)

— ee' cos ( 2 /' — 2 A — e' + w ) H — e cos ( Z' — w )

- e cos (/'— 2A + W) — 2e' cos ( 2 /' — X — ccf' )

^ e2cos(/'4- X — 2w) — ^ é^ cos(/'— 3X4- 200)

+ Zee' cos(2Z'— cî'— w) — 0 e'^ cos(r+ X— aro')

— ^e'^'coslS/' — X — 2Cî') — Yî2cos(/' + X — 2t').

On verra de même qu'en négligeant les excentricités R,,o— Ri devient

^ - -, ïîM cos(/'->.)- ^y)2cos(r+X-2T'). a^ a- a^

C'est à cette même expression que se réduit R^ quand, dans les formules (17) et (18), on suppose

tous les autres coefficients étant nuls; on en déduit da a^

d'où

da^

«'A'„^' = a'AL-'*= (-0"-"H« + 0^

Alors, si dans la formule (37) on donne à l'indice «les valeurs + 1 et — i, l'expression correspondante de R, se confondra avec celle de R,,o — R,, et l'on trouvera sans peine

— 2ecos(/'- 2X + o>) + -e'cos(X — ^') e'cos(2Z'— X — nr')

I 27 (4i') /' — ^ e2cos(Z'4-X — 2w) ^ e^cos(/'— 3>i + 20)

— ee'cos(2r— 2X — ot'h- w) + 3ee'cos(2A— 57' —w)

— le'-coi{l'+l — -2w') -3e'2cos(3Z'— X — 2ct')

— rr cos ( Z' + >i — 2 t' ) .

Les divers termes dans lesquels on développe ainsi les différences R<,o — Ri et Ro,, — -R, rentrent dans la forme générale (32); dans chacun des arguments D, la somme algébrique des coefficients de X, /', w, xs' et t' sera nulle ; on aura, pour fixer les limites inférieures des exposants de e, é et y], et de l'ordre du terme, les mêmes règles que pour R,, puisque le procédé de développement est identique.

125. On peut obtenir aisément l'expression générale d'un terme quelconque des développements des différences Ro., — R,, R<,o — Ri à l'aide des fonctions de Ressel, comme nous allons l'indiquer.

3l2 CHAPITRE XVIII.

On a, en tenant compte des formules (7) et (38),

Ro,i— Ri — —^ cos(p — (^'+t'— t) + 2Y]2 -y^ sin((^ — t) sin(p'— t')

OU bien, en introduisant les anomalies vraies w et w' et posant encore

CO = CT + t' — T,

Ro,i — Ri = ji cos(wp'— mp'+ w — gj') + 2yî2 -7^ sin((v + w — t') sin((p' + ct'— t');

/ -r> T> / fN / cosfp' . sintp'N

Ro,i — Ri = — cos(a) — ct')(/'COS(p — —^ h/'smn^ — jr~ )