I . , ,^ / . cos(ï^' sin(ï
+ sin(a) — ct) rsm(v — t^ /-costp — tt—
+ 2Yj^ [/•coswsin(ûL) — t') + A- sin(iP'COs(a) — t')] X -p^sm(c;j' — t') + — ^^ cos(ct'-t') .
Or on a obtenu dans le n** 86 les développements périodiques de rcosq^, rsinw^, — -j^-, ^,^ ; les formules (m) et («) de ce numéro donnent
- COSW=:
r A;,cos/?.Ç,
An =
Ao =
2 COS w'
► A'„, cos«'2
- sin(v= \ B,jSinAiÇ,
«'^sin w'
= 2 B«'Sinn'Ç',
B;„=:v/i-e'-^«'J„'..,(rt'e').
En portant ces valeurs dans la formule (42), elle donnera
■ — (Ro,i— Ri)~ — cos(w— cî') ^^ (A,jA'„, cosrtÇcos«'Ç'+ B„B;,, sin/iC sin/i'Ç') H- sin(ço — ^') y]^ i^nKi' sin/iÇcos/i'C — A„B'„,cos«Ç sin«'C') + 2YîM sin(ço — t') y A„cosnÇ + cos(w — '^') ^ 1^« sin/«n X sin(nj'— t') V A'„,cosai'Ç'4- cos(n7'— - t') ^ B'„, sinn'C .
DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3l3
On mettra sans peine le second membre de cette formule sous la forme (32); nous ne ferons pas ce calcul, et nous nous bornerons à deux remarques :
En premier lieu, À^ n'étant pas nul, on voit que le second-membre de la formule (44) pourra bien contenir des termes indépendants de 'C, mais qu'il ne renfermera pas de termes indépendants de Ç; la différence R,, , — R, ne contiendra donc pas de termes séculaires.
En second lieu, les formules (43) montrent que A« et B^sont, relativement à e, de l'ordre n — i; A^ et B)^, sont de même de l'ordre n' — i relativement à e' . Cela posé, en examinant attentivement la formule (44)» on reconnaît que le coefficient d'un argument contenant ± n\ ± n'I' sera de l'ordre des quantités A„A)^,, B,jB'^^, , B„A^^, , A,jB)^,, ou de l'ordre de ces quantités multipliées par Yj^ L'ordre du coefficient considéré sera donc égal à/^— i-4-n'— r =n-[-«'— 2 plus un nombre pair.
En général, en prenant D sous la forme (32), on pourra dire que l'ordre du coefficient G est au moins égal à
Cette limite pourra être plus élevée que l'ancienne | a -f- a' | , qui ne cesse pas d'ailleurs d'être applicable ici, comme pour R,.
Exemples. — Considérons de nouveau les termes dont les arguments sont de la forme
q contenant cr', co et "z' , mais non /' ni X.
La règle ci-dessus montre que l'ordre des termes de cette nature, qui proviendront de R„, — R,, sera au moins égal à 2+5 — 2=5, tandis que les mêmes termes qui provenaient de R, étaient du troisième ordre.
Dans la théorie des perturbations de Pallas par Jupiter, les arguments de la
forme
sont très importants à considérer, parce que la différence entre 7 fois le moyen mouvement de Pallas et 18 fois celui de Jupiter est très petite. DansR,, le coefficient de cosD sera de l'ordre 18 — 7 = 11; tandis que, dans R(,j — R, , il sera de l'ordre 7 + 18 — 2 = 23 ; les termes de la forme indiquée seront entièrement insensibles dans Ro,, — R) .
126. Il résulte de ce qui précède que les développements de Ro,< et R,,o sont de la forme
(45) ff'Ro,i = 2Ne''e'"yii"cosD, a'R,,o -= ^ N'e»e'»'y]PcosD,
où l'on a
D = «> + a7' + [3(0 + P'gt'— lyx' ,
H'= iXLUi=»-«irriom]
F := 2y + un nombre pair.
N et N' sont des fonctions de — ? qui peuvent être différentes à cause des termes
provenant de R,,,, — R, et de R,,o — Ri-
Parleurs définitions mêmes, formules (i), les fonctions Rq,, et R, o doivent être complètement indépendantes et de la position du plan fixe des xy et de l'orientation de l'axe des x dans ce plan. Il doit en être de même des arguments D, et il est bon de le vérifier. Cela est facile, car on peut écrire
D = a (M- t'— t) + a7'4- (3 (ot + t'- t) -1- [3'm'— (a + «'+ [3 + (3')t',
(47) D = a/ + a'/'+(3cT + (3'm' — (a + |3)T— (a'+f3')T'.
Cette expression est symétrique par rapport aux éléments des deux planètes.
Désignons maintenant par L, L', Q, ù' les longitudes moyennes des deux planètes et les longitudes de leurs périhélies, toutes ces longitudes étant comptées sur les orbites respectives des deux planètes, à partir du point G de la /ig. 2o. Nous aurons
L = / — T, L'=/'-t', i2 = cT-T, a' = rs'~T',
et la formule (47) deviendra
(48) D = aL-Ha'L'+(3i2 + [3'i2';
cette expression est maintenant tout à fait indépendante de la position des axes de coordonnées; il en est de même des fonctions perturbatrices, qui peuvent s'écrire
l a' Ro,, = 2 $ (^^ e"e'»' fsin ^ J Y cos (aL + a'L'4- [3i2 + (3'i2'), «'Ri,o ^== X ^^(^) ^"^'"'(sin { j)' cos (aL + a'L' + (3^ + (3'i2').
Ce sont des expressions réduites qui ne dépendent plus que de la situation relative des deux orbites, et non de leurs situations absolues. Il n'y figure que quatre arguments L, L', O, ù'.
DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3t5
127. En parlant, au n° 70, du calcul général des perturbations, nous avons supposé, pour chacun des termes du développement de la fonction perturbatrice, une forme un peu différente de celle que nous venons de trouver, savoir
G cos (a / + a' /' + j3cT + [S'ro' 4-y Q +y' Q'),
le coefficient e dépendant de a, e, cp, a' , e' , cp'. Nous allons démontrer ce résultat.
Les expressions des coordonnées rectangulaires x, y, z trouvées au n" 32 peuvent s'écrire
- = cos (^ + 2 sin 9sin(i'~0) siii^ - , r 2
•^ =: smp — 2 cos9 sinCt' — 9) sin- -?
■= sin((' — ô) sin 9;
on a des expressions toutes pareilles pour '—, —, ^,> et l'on en conclut
^ ce "V V -G ^ G)
0-= 7 +•-■—, H 7 = cosfp'— v) 4- 2sin^ - sin 9 sin (p — B) cos(''h-. . . .
Nous avons écrit dans le second membre la partie indépendante de 9 et <p',.et seulement l'un des sept autres termes, qui sont du second ordre ou du quatrième, si l'on regarde o et 9' comme de petites quantités du premier ordre. On transforme les produits, tels que sinO sin(ç' — 0) cosv' , en sommes de cosinus, et l'on trouve ainsi
