cos ((''■— r) -]- - Q

en faisant

Q = ( — 2 sin- ^ — 2 sm^ -r + 2 sm^ ^ sm^ — 1 cos {v — c)

cp o

+ sin 9 sin 9' cos((^'— c — 0' + 0) 4- 2 sin- - sin-— cos((^'— t'— 2 0'+ 20)

-f- 2 sin^ - cos^ — cos((^'-h v —■ 29) -h 2 sin^~ cos^ — cos(«''-f- c — 29')

— sin 9 sin 9' cos ((^'4- t' — 5 — 0'). Nous poserons en même temps

3l6 CHAPITRE XVIII.

de telle sorte que la formule

^2-,.2| ,./2 — 2rr'a nous donnera

R,= ^=:(P-/v'Qn-

Q est du second ordre, et, pour les anciennes planètes, la valeur absolue de r/ ^ est petite; on peut développer (P — rr'Q) ^ par la formule du binôme, ce qui donne

Il faut mettre pour r, r' , v, v' les valeurs

r = a(i4-x), /•'— a'(n-x'), ç—l-\-y, p'=rr/' + y';

on commencera par faire

r=za, i'z=a', i' = l, v'=rl'; R,, P, Q se changeront en Ro, Po et Qo, et il viendra

Qo =: ( — 2 sin^ - — 2 sin^ - — h 2 sin^ ^ sin^ ?- ) cos ( l'— l)

+ sin9 sin©' cos(/'— /— 9' + ô) -f 2 sin^^ sin^ — cos(/' — /— 2 9' -{- 2O) (5o) ^

+ 2sin2- cos^ — cos(/'+ /— 2 0) + 2sin^ ^ cos^ - cos(/'+ l— 2O') 22 22

— sin 9 sin 9' cos {C -\- i— B — Ô' ) ;

Ro=P;U^aa'P?Qo + ...+ ^^^'4T-'-^'"'''^^^'"^^^» +

Il convient de poser

(5i) tang-=x, lang— — x'.

Les coefficients des divers termes de Qo se développeront aisément suivant les

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3x7

puissances des petites quantités x et x', et ces termes eux-mêmes seront de la forme

(52) tl^'a'^' ç,o^{<xl -\- ot.' l' -\-j B -\- f B'),

les entiers G et G' étant égaux aux valeurs absolues dey et /, ou à ces valeurs augmentées de nombres pairs; c'est ce que l'on constate sur la formule (5o); on peut remarquer en même temps quey +/ est pair et que l'on a

Il faut maintenant élever Qo à la puissance k et, au lieu des puissances de cosinus, n'introduire partout que des cosinus des multiples des arcs /, /', G et ô'. Il est facile de voir que les divers termes de Q^ seront encore de la forme (02); on aura encore

G = |y I 4- un nombre pair,

G'=|y'| + un nombre pair;

la démonstration se fait d'abord pour Q^ et s'étend ensuite de proche en proche. Les remarques faites sur les sommes j-\-f et a 4-a'+y-f-y' subsistent pour Qq. Nous aurons ensuite

(53) PT^*"*'''^ = - 'Dî''"' 1 4- e'»' , cos(/' - 0 + ^'''" 1 cos2(Z'— /) +. . . ,

et il faudra multiplier cette expression par a^a'^Qj; les divers termes du produit seront de la forme

(54) MoxGx'Gcos(a/+a'/'H-y9+y'ô'),

Mo étant une fonction homogène de a et a\ de degré — i ; on aura encore

cf.-\- cf! -\-j -\-j' ^=-0,

parce que, dans chacun des termes de l'expression (53) la somme des coefficients de / et /' est nulle.

Nous avons ainsi obtenu le développement de Ro ; pour passer à celui de R, , il faut remplacer a, a', /, /' par a h- ax, a' -\- a'\' , l-\- y, /' 4-y'; tous les raisonnements et calculs faits dans les n°* 120, 121 et 122 subsistent identiquement, et l'on arrive à cette conclusion qu'un terme quelconque de la fonction perturbatrice peut être mis sous la forme

(a) Me"e'"' Uangiynang^") cos(a/ + a'/'-f- (3gt + jS'nj'+y^ 4-y'9');

3l8 ■ CHAPITRE XVIII.

M désigne une fonction homogène de degré — i de a et a'; les différences H — I P|, H'— ||3'|, G — \j\, G — l/l sont des nombres pairs positifs ou nuls; la somme y +/ est toujours paire, et enfin on a