Reprenons la première forme

\ Me"e'"' sin - cosD, (A) V 2; '

( D=aA + a'/'+(3a) + (3'cT'— ayr'.

Il ne sera peut-être pas inutile de transformer directement (A) en (a). On aura d'abord

D ^ a (1+ 2 ^-) + a'/' -F (3 C^T + 2 ^^"j + jS'cr'- 2y ('^-^ + '^~~^)

ou bien

en faisant

Désignons par p un nombre entier positif qui pourra être nul ; nous aurons à transformer l'expression

0=lsm-) cosIA — 2y - — 20

OU bien

(56) - 0r=U sin

en posant

(57) U=--WsinH cos(A-2y ^4^ -2ô"~^

Il y a lieu d'introduire

V rrr f sm - j SIH ( A — 2 y 2 0

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. SlQ

On aura

(58) U+V^/-7=(sin^)V^-E-^^^^'^E-^'^-'^^.

Or, si l'on a égard aux formules (5) et (5i), on trouve sin - E ^ = -.

COS - v/lH- 5t2 v/i H- x'^

en portant dans l'équation (58), il vient

,, ,, , — EAv'=î(xE-V^x'E-0V~)^rri|.x-/E''»'-9>v/^r^

fcOS-J (l + x2)Y+5(i4 x'2)ï+8

U sera la partie réelle du second membre.

Or le terme général du développement de ce second membre est de la forme

(cos'-j (H-x^)Y+S(,^../2)T+8

OÙ A est un coefficient numérique, p et g deux entiers positifs ou nuls, inférieurs ou égaux respectivement à 2y et 2§.

On en conclut la valeur de U, et, en tenant compte de (56), il vient

(sm--j (%) 0= , TT^ô-^ ^-— X Ax/'+?x'n-/'+'?cos[A- (^ + 7);9-(2y-/?-^)0')].

(COS-J (l+x2)Y+S(n-x'2)r+ô

On tire, d'ailleurs, des formules (5),

. „ J x2+x'2 2xx'cos(9- 5')

si l'on porte cette valeur de sin^- dans la formule (59) et que l'on remplace A

par sa valeur (55), on voit sans peine que 0 se compose d'une série de termes de la forme

x»^' x'C COS (a /+ a' /'+|35T 4- (3'ro'+y 9 H-y'ô'),

avec la condition que l'on ait

G = 1./ 1 + un nombre pair, G'=: |/ | + un nombre pair;

C'est le résultat que nous avions obtenu précédemment dans le n'^ 127.

Le Verrier a employé constamment la forme (A) dans ses théories des anciennes planètes; il a eu ainsi l'avantage de réduire les arguments à cinq au lieu de six, en ajoutant kl etrs la très petite correction t'— t.

Mais les équations différentielles (h) du n*' 62 supposent la fonction perturbatrice développée sous la forme (a).

Pour utiliser le développement (A), il est nécessaire de transformer les équations différentielles : c'est ce qui va faire l'objet du Chapitre suivant.