CHAPITRE XTX. — TRANSFORMATION DES DIFFÉRENTIELLES, ETC

129. Nous considérons spécialement deux planètes P et P' auxquelles correspondent les fonctions perturbatrices

(0 Rrr:fm'R„j=: n} a^ R„j OÙ /Jt. = I + /W,

(2) R':=fmRi,o= ~ /i"«''R,,o où ^'—i + m'.

Nous avons d'ailleurs, d'après le Chapitre précédent,

(3) a'Ro,i=^Ne/'e'/''-Ai/cosD,

(4) a'R,,o-^NV'e'^''-o/cosD,

(5) D = a4-i'Z' + Â:a) + A'cT'+MT',

(6) i^ i'-^ fc-h k'-h u = o;

i, i', k, k sont des entiers positifs, nuls ou négatifs; u est un entier pair négatif ou nul; N et N' sont des fonctions homogènes et de degré -^ de a et a' . h, h' y f sont des entiers positifs ou nuls, et les différences 0

h-\kl h'-\k'l f~\u\

sont des nombres pairs, positifs ou nuls. Les relations

(7) A = /+t'— T, w — nr + r'— T,

dans lesquelles t'— 'r ne dépend que do 9, 9' et 0 — 0', nous montrent que nous T. - I. 4,

aurons

(?R„., dRo,l '^Rnj ^Ro.i

Nous allons maintenant effectuer les substitutions (i) et (8) dans les for-

mules (h) du n*' 62; en même temps, nous éliminerons des expressions de

et de --r- la valeur de —f^> au moyen de l'équation

d9 m' na r}Ro,

dt ~ IX ^i — e^sincf à^

Nous trouverons ainsi sans peine

da 2 m' „ ()Rn i

na''

dt IX dl

de m' „<?Roi >d nae \/ï — e^ dR„ , ce , dQ

dt IX oa /i. 1 4 i/i q1 de ° 2 ^ dt

de m' nas] i — e^ ^R^, , rn' nae\J\ — e^ (?Ro,i dt [X e doi jx i ^ i/i g2 (?X

^57 m' /la v/i — e^ (9Rn 1 CD . dO

■dt= -fT -e ^ + ^^"^^^"^^'

«fô m' na <?Ro.i

m «cp m' na dR„ , m' ° 2 /^Rn , r9Rn ,

Nous aurons de même

da' 2 m ()Ri,o dt - p.' '''' dl'

de' dt ~

m , „ ^Rio m n' a'e' \l\ — e''^ d^y ç, ^ ©' .

— 1 — n'a!^-^ -\- — ; ~~- +tang^ sina

/^' Oa' ^ i4^i e'2 de' ^2 ^

dt ~

m n'a'\J\ — e'^ aR,,o m n' a' e' \J i — e"- dR,.o ^t' e' dm' ix' i + y/i e'2 d/'

dO'

m n'a'\Ji — e'^ dl\, 0 ©' . , d9'

-, —, 3-7^ + tang-^ smœ'-j-;

[x' e' de' ° 2 ^ dt'

m n'a' ^Ri.o

F v/i — e'^sin9' C?'

fVi — e"sin?' ^^' ^' v/^— e'2 \ ^^' <^^' .

rfô'

130. Il nous faut transformer les équations («), parce qu'il y figure les dérivées partielles de Ro,, par rapport à ç et ô et que l'expression (3) de Ro,, ne contient pas directement ç et G, mais les quantités t', t — r:' et ■/] = sin-, qui sont des fonctions connues de ç, ô, cp' et 0'.

Nous aurons, en ayant égard aux formules (7),

^Ro,i ^9

~ dz'

dz' ^ /^Ro,i 1 (?Ro,;

d(fi \ dK d(ù ^

\d{z'-z) , I ^Ro,, 1 ddj) '2 dn

^Ro.i

~ dz'

dz' (dJ\o,r dRo,:

ds '^y di d(^ ,

\d{z'~z) I dJXoA 1 dO 2 dn

J dJ