V.2U A-= /•oVoSinr)o = — ^ -i
en désignant par yjo l'angle que fait la vitesse initiale avec le prolongement du rayon r^.
Si l'angle yjo est obtus, r commencera par décroître, et z par croître à partir
de ^oî 0'^ suppose essentiellement que la trajectoire est fermée et ne rencontre pas le Soleil; z ne croît donc pas indéfiniment, mais seulement jusqu'à un maximum ^; la quantité [3 doit annuler le radical qui figure dans la formule (19). Ainsi, on a la relation
Pour z >► j3, le radical considéré deviendrait imaginaire; z va donc décroître et repasser d'abord par les valeurs précédentes jusqu'à z=^Zq; on voit aisément
que le rayon vecteur minimum r, = g sera un axe de symétrie de la courbe;
r croîtra encore au delà de r^ = —, mais pas indéfiniment, puisque la courbe est
supposée fermée; - décroîtra donc jusqu'à une valeur a qui annulera aussi le radical considéré plus haut. On aura donc
(23) Yl-k'a.^ + ^{^):=o, (a<i3);
le rayon vecteur maximum ^2 = - sera aussi un axe de symétrie de la courbe. Soient 0M^ le rayon vecteur minimum 7\ (Jig. 4), OM2 le rayon vecteur maxi-
mum Ta, 0 l'angle M,OM^; la courbe se composera d'une série d'arcs égaux à M.AMa.et l'on aura
dz
Pour que la courbe se ferme d'elle-même, il faut que l'angle 0 soit commensu-
rable avec u; on devra donc avoir, en désignant par \ le quotient de deux
nombres entiers,
0 — Xtt,
d'où
Cette équation devra avoir lieu, quelles que soient les conditions initiales; donc, quelles que soient les quantités ¥„ et k [(cette dernière dépendant des données initiales par la formule (21)].
Or on tire de (22) et (28)
(3^ et, en reportant dans (aj), il vient
il faut déterminer la fonction '|(-) de manière que cette équation ait lieu quelles que soient a et |3.
Remarquons d'ailleurs que le nombre fractionnaire X devra être indépendant de a et ^; car, s'il changeait d'une orbite à l'autre, une variation infiniment petite de a et p, ou bien des conditions initiales, apporterait un changement fini dans le nombre des arcs égaux à M, AMj dont se compose la courbe.
Posons
( 27 ) (3 = /i -+- e, a = h — c, ^ =: A 4- eÇ ;
l'équation (28) devra avoir lieu quels que soient A et e; aux limites a et ^ de z correspondront les limites — i et -1- 1 de C; nous allons développer suivant les puissances de e, par la série de Taylor, les quantités
^(^) = ^{h 4- e), ^(a) = .|(/i - e), ^{z) = ^{h + cK) ;
les séries seront convergentes si e est assez petit. Écrivons d'abord l'équation (26) comme il suit :
f --. ft-
Nous négligerons c* sous le radical; '^^ — a^ contenant e en facteur, on pourra prendre
OÙ l'on a écrit, pour abréger, •]/, •];', ... au lieu de 'j/(A), 'YÇh), ...; en réduisant et développant le dénominateur suivant la puissance de e, il vient
La quantité placée sous le radical de la formule (28) se réduit à
en.-î:')-(.-Ç')A.'|r-Ç^fc't ^/-.'ir+n3-''''lt + ■■■■•
e^(i — 'C^) est un facteur commun à tous les termes; on a ensuite
ou bien, en faisant t = sin^ et développant en série suivant les puissances de e,
,2 '^>'('y-/*'y')"" 24 (y-/ry')^^'"J ■'
Or on a
7t •- 71 '-^ TT
il Vient ainsi
, ^ r. 1 ^ r he'- f /iV Q,.v 4y'y"\ "1
Cette équation doit avoir lieu quels que soient e et h, en particulier quel que
soit e; on en conclut
La formule (3o) donne, en remettant h en évidence sous les signes '\>' et 'j;",
d'où, en désignant par C une constante arbitraire,
(32) ^'{h)=^Ch~^',
si l'on porte dans l'équation (3i) cette valeur de '|'(^0 ^^ ^^^ expressions qui en résultent pour ']'"(h), '|"'(^) et ^*^(A), on trouve aisément
d'où ces deux valeurs
qui sont bien commensurables. La formule (32) donne ensuite ces deux valeurs de 'y (h)
et, en employant ensuite la formule (20), il vient
R, m r = mu/-.
Telles sont les deux seules lois d'attraction qui permettent au mobile de décrire une courbe fermée quelles que soient les données initiales (la vitesse étant cependant au-dessous d'une certaine limite); si l'on suppose l'attraction nulle à une distance infinie, il ne reste que
ou la loi de Newton, qui aurait pu être ainsi déduite de ce seul fait conclu de l'observation : qu'une planète quelconque décrit une courbe fermée, sans qu'on soit obligé de connaître la nature de cette courbe.
7. Théorème de Newton. — Supposons qu'un point matériel M de masse m soit attiré vers un centre fixe 0 par une force d'intensité
Jes calculs du numéro précédent seront applicables en remplaçant /(r) par [j.r";
le rayon vecteur r restera toujours compris entre un minimum OM, =/',=- et
un maximum OMo = ^2 = -5 la courbe se composera d'une série d'arcs égaux à M, A Ma. Soit encore 0 l'angle M<OM^; on trouvera sa valeur en partant de la formule (29) et remplaçant '\'{]i) par son expression
conclue des formules (20) et (33). On aura
: — Il — 2 ,
il viendra donc
v//^+^ L 24 II- ••■]•
Les formules (27) donneront d'ailleurs
h on trouvera ainsi
Telle est l'expression de l'angle compris entre un rayon vecteur minimum i\ et le rayon vecteur maximum suivant r^, lorsque la force centrale est représentée par la formule (33); si les données initiales varient de telle façon que la différence Ta— r^ tende vers zéro, on aura
(35) lim0 =
C'est dans cette relation que consiste le théorème de Newton; on voit qu'il se rapporte à une orbite presque circulaire décrite sous l'influence d'une force centrale proportionnelle à une puissance de la distance.
Pour les mouvements des planètes autour du Soleil, on a /z = — 2, R = ^—^■> et la relation 0 = t: est rigoureuse; mais on peut se demander ce qui arriverait ^si l'on modifiait d'une très petite quantité l'exposant — 2 de la loi d'attraction; T. - I. 7
5o CHAPITRE I. — LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE.
si l'on supposait par exemple n — — 2,001, il on résulterait
lim0= , =7: 1 + -^ H... =i8o»o'24".
On voit donc que, si l'exposant de la loi d'attraction différait de 2 seulement de 0,001, l'angle formé par deux rayons vecteurs maxima et minima consécutifs de l'orbite d'une planète différerait de 180^ de plus de 5'. Nous supposerons l'orbite peu excentrique; le second terme de la formule (34) est très petit à cause des facteurs {r.^ — r,)- et /i + 2 = 0,001, de sorte qu'on peut employer la formule (35). L'orbite se composant d'une infinité de parties identiques à celle qui est comprise entre un rayon vecteur maximum et le rayon vecteur minimum suivant, on voit que le point le plus rapproché du Soleil, le périhélie (^fig. 5),
Fi g. 5.
M,AB=i8o", M\C = i8o»,
BSM, =5'24": M.>M:= io'48'.
se déplacerait à chaque révolution de 10' 48", c'est-à-dire d'une quantité considérable et tout à fait incompatible avec les observations. La fixité des périhélies planétaires prouverait donc à elle seule que, si l'attraction solaire est de la
forme -~, on doit avoir n = 2.
Les résultats précédents sont dus à Newton {Principes, Livre I, Prop. XLV).
Remarque. — Le terme en ( ^.^ ~ ^' ) disparaît de la formule (34) pour /z = i et /î =— 2; il en serait de même des termes suivants en
car, pour/i = i, l'attraction est proportionnelle à la distance, la trajectoire est
une ellipse ayant pour centre le centre d'attraction; on a donc toujours 0 =->
quel que soit le rapport — ^: c'est bien à quoi se réduit alors l'expression -pr
Pour n = — 2, cette même expression est égale à - ; la trajectoire est une ellipse ayant l'un de ses foyers au centre fixe, cl l'on doit avoir 0 = 11, quel que soit-^^ — -■
