L- COS - -T

2 c/yî 2 a(f

J dJ

I ()Ro,

La première chose à faire actuellement est donc de calculer les coefficients différentiels

^, ^'. <^(''-') àiz'—z) âJ dl dtp

dô

dcp

dô

Il suffit, pour cela, de différentier totalement les formules (3) ou (4) du n° 117 ou mieux d'appliquer au triangle NGN' de \^Jig. 20 du môme numéro les formules différentielles connues de la Trigonométrie sphérique

(II

G?A=:— cosc<:/B— COS 6<fC + sine sinR <ia,

sinAd'è :i;^ sinci/R +- sinZ? cosAo^C -h cosc sinR da,

sin Ag?c =: sine cosA<iB + sin b dC H- cos^sinC da;

elles donnent ici

[ di =

(12) I sinJc?(T — 9) —

{ sinJ d{z'— 9') —

On en conclut

cos(t — 9)rftp— cos{z'— 6') d(^'^ sin (^' sin {z — 9') d {0 — 9'),

— ces J sin (t — 9) dcf» + sin(T'— B')d<:f>' -+- sinc^)'cos{z'—9')d{0 — 9'),

— sin(T — 9)d(^ -h cosJ sin(T'— 9') d(^' + sinip cos(t — 9) d{9 — 9').

= cos{z-—9),

de?'

— cos{z'—9'),

Ô0'^~W~ s^"*? si"(^ — ^) = sin9'sin(T' — 9'),

dz __ ces J sin (t— 9) dtp

dz Ô9='

dT'__ dcp

sinJ

sin<p'cos(T'— 9') siiiJ

sin(r — 0)

sinJ dz' sin(pcos(T — 9)

sinJ

dz__ sin{z'—9')

d^' sinJ

dz sin9'cos(T'— 0')

W ^ sïïîJ ~~ '

dz' ces J sin (t' — 9' )

d^'~ ^TiïJ '

dr' __ sin9Cos(T — ô)

db' " sinJ

On tire de là

(i4) ^^^^^=-langisin(r-9),

<?(t'— t) sin 9 cos (r — 9) — sin 9' cos jz'— 9' ) d{z — z')

^'""^ d9 ~ sinJ '~ dd' '

Cette dernière expression doit être transformée, car nous savons d'avance, par

la formule (6) du n** 117, que ~ '■ doit être une petite quantité du second

ordre, et cela n'apparaît pas dans la formule (i5). Or la formule connue

(16) sinB cosc =r sinA cosC + sinC cosA cos6 donne, quand on l'applique au triangle NGN' de \^fig' 20,

(17) sin 9' cos(t'— ô') rrr— COS 9 sinJ + sin 9 cosJ cos(r— B); si l'on élimine cos(t' — 0') entre (i5) et (17), il vient

(18) ,. — - — lang - sm9Cos(T — 9) — 2sm* -•

Nous remarquerons, en passant, qu'en partant des formules (5) du n° 117 on arrive aisément à cette expression plus élégante

çp cp' J

,, sm- -1- -h sin^ -!^ sm^ -

Les formules (9), (10), (i3), (i4) et (j8) donnent maintenant

— -^ = V— ï — - —7^/- -t- - cos - cos (t — 9) — T^

ôo smJ <:;t 2 2 ^ df\

'^Ro., , <?Ro,,'

tang - sin(T— 9) ( •

d\ ddi

dRo , sm9 cos(t — 9) ()Rfl 1 i J . . . /^v <^Ro.i

— J— = — - — 7-^ /; + - ces - sm9sm(T — y) /'

a9 smJ ôz 2 2 ^ an

tang - s,n9 cos(.- r» 2sm« ^J (^-^ + -^j

Si l'on porte ces valeurs de —p- et de —^ dans les formules (a), on trouve

qu'elles deviennent

ad m' na . , .. aRn , i m' 2 , ,. ov\.^

sin9 -r~-. ; sm(T — 9)--r^ H cos(r— g)— T^

«9 m' na , n^ o^^o t i '^ 2 . , .. oKo,i

-7t= • , cos(t— 9)— ~ T.=^sin(T— 0) ^-^

dt ij. s/i — e'sinJ dz' 2 ix sji—e'' àri

, nalang m' 2

=r- COSI

131. Il faut maintenant faire des calculs correspondants pour la planète P'. Si l'on conservait dans ces calculs la fonction R,^o sous la forme (4), les dérivées

-3-^ et — j^ introduiraient ——■ et —r^ a cause de t — t qui iicrure dans les formules (7); il y aurait aussi —r^ et -^7-" qui existent déjà dans les équations (a'). Ce serait un inconvénient que l'on évite comme il suit. On pose pour un moment

(7') l'=l'-hZ-T', C0'=rnT' + T-T';

l'expression (5) de D devient

(5')" D=:f7 4-i'A' + AcT + A'a)'+ MT,

car, si l'on retranche (5') de (5), on trouve

condition qui est satisfaite d'après (6).

Pour plus de clarté, nous mettrons des parenthèses aux dérivées partielles de R^,o prises dans l'hypothèse où D est mis sous la forme (5').

Nous aurons

/,„.x ^Ri.o (an, A dr \-fdn,,A /^R,,o\] d{T-z') I ^R,,o ^^^ J ^J

.,..x ^R.,0 A)R.,o\ àz [fdR,,o\ ^ /^R,,o\l

^ dO' 2 df] 2 dO'

— L r»ar la fni'miilp {^ r K\

dO'

calculons d'abord ^., — - par la formule (i5) que nous transformerons au moyen de la relation

sin9 cos(t — 0) = coscp' sinJ 4- sin9' cosJ cos(t'— 0')

conclue de la formule (i6); nous trouverons

/ a, s àir t') ^ J . , , , r,-. • -, 9'

(i8') .,, — - =r — tang - sinca' cos(t — 6 ) — 2 sin^ — •

ao "^ 2 ' 2

Les formules (20') et (21') nous donneront ensuite, en tenant compte de (i3) et (18'),

0(f sinJ \ âr J 2 2 or]

-r = r— ~- cos(t'— 9 ) , cos - sinQ'sinft'— 6 ) ^r^

' sinJ \ Or J a. 1 ^ On

- [u„-^i„,'eos(.- .)....„. ^] [(^«) .. (^yj.

Il n'y a plus qu'à porter ces dérivées partielles dans les formules (« ); mais nous reviendrons en même temps à la première forme (5) des arguments D dans le développement de R,^oi nous aurons évidemment, par le simple rapprochement de (5) et (5'),

aR,,„\ aR,,o /^R,,o\ <?R,.o /^Ri,o\ ^Ri,o

dz J " ôz' V or J^ dl' \ d(^' J ~ Ors'

et nous trouverons finalement

' jr, > ' ^n n'a' COS- ^„

, d'f m n a . , , ,,, On^^ i '" 2 , , ,,^ «Rio

sino' -r ■= --, -7= sin (-—()' -^r 1 , cos(r' — Ô') —^

n' a' lansr '

+ -7 — , sin(-r'— 6') -TT^ + -r^)-

II' di — e"- \ 01' Ors' /

n' a' cos -

-j^ =: -^ ^ — COS(t'— ^') -—■ M , Sm(T'~ 0') — r-î-

rf/ IX.' y/i — e'^'sinJ <^t 2^' v^* — «" '^'^

/i'a'tang -

+ — — COS(t'— 0') — tt/- 4- -.^ ■

132. Nous allons écrire de nouveau l'ensemble des formules auxquelles nous venons d'arriver; nous y joindrons celles qui donnent ~ ^^~iTr d'après la formule (28) du n" 75; enfin, dans les coefficients des dérivées partielles de Ro,, et R,,o, nous ferons avec Le Verrier

(22) e = sin'j', e'=sin'|'.

^11 . -, de 1 ^Ro.i 1 .• / 11

Dans 1 expression de -r-' "^^^ remplacerons —^ par sa valeur tirée de la première des équations (A).

Cela posé, les formules (A) et (A'), (B) et (B') deviendront

D = il + i' l' + k 0) -h k' rn' -h ut' ;

da ru' , (?Ro,i d'^p „ m' ()Ro ,

dt [i. ÔA dt^ IX ôA

— =— 2 — ■ na^ — T-^ H /mcosùlang - — r— + tang - sino -^,

dt p da ^ ^ ^ 2 de '^ 2 ^ dt

de Ju' na (JR» 1 à , i da

-^ =— ■ — • r — --— tang - cos ÛJ ■ — ^ -7- )

dt [i tangq; ao) 2 '2a dt

-77 r= — ; j- — 5-^ + tang-^ sm9 -7-,

dt [i tang4^ de 2 ^ dt

d(a m' na V i (?Ro.t . J /<)Ro i (JRo Al , n.

dt fx cos 4* LsinJ âz' 2 \ JA doj J ] ^ '

i m' na J dKo 1 . , ^,

■ r COS ^H- sin(T — B),

2 p. cos4> 2 ôri

dO m' na V i dW^.^ . J /^Ro,i <?Ro AI • ,

sin9 -J- = • r -^-^ -~ 4- tang- {~-~^ + -5-^ sm(T— 9)

^ dt p. cos^]; smJ dr 2\ d\ ^w / J

1 m' na J ^Ro 1 , „,

H r COS r-^ C0S(T— d)\

2 [}. COS 4; 2 dri

a' Ri,o = ^ N'e^'e'/*'Y)/cosD,

D — a H- i'l'-^k(^ -t- A'w'+ mt';

—. n a ^., ) — 775- — — D — 7 /i -a — rïT— '

p.' di a^^ |x' dl

= 2 - «'«'^ -— -H - n'a' C0S4; tang ^ -^ -+- tang f sm9' -^,

7 ; ri -y^ tan» cos 4^' — ; --^,

ix' tang'!'' dnj' ° 2 ^ 2 a' dt

~JT = -7 ; n ~r-r + lang — sin9' -r-,

<i^ /jl' tang4> de' ^ 2 ^ dt

d^ m n'a' P i aR,.o £ /^'.o ^Ht o\1

c^^ ~ /x' cos^;' [sinJ r^r' '^^^^ 2\ dl'" '^ d^)\

H -, n cos r^ sm(T'-- 0'),

2 /ut' COS 4;' 2 dr\ '

cos(-'— 5')

. , dB' m n'a' f i <)R, „ J /(JR, „ ,JR, AT

1 m n' a' J <^R|.o , , ,,, ; n COS T-^ cos(t'— 0')

2 jx' cosij;' 2 (7rj

C'est la forme employée par Le Verrier dans ses théories des anciennes planètes.

133. Il n'y aura aucune difficulté à former les dérivées partielles de Rq,, et Ri,o en partant de leurs développements qui viennent d'être rappelés en tête des formules (C) et (C) ; il y a lieu cependant de donner quelques explications pour

ce qui concerne -^^ et -^r^- On trouve immédiatement

, JRo,, V ^^

^ a -^ e''e''''yj-^'cosD,

da Jmà da

Considérons maintenant le développement de a'R, = ^j et faisons

(24) a'\^,z=zY^^,e''e"''-nfzQ%\^.

Il résulte des formules (40 et (41')^^" n" 124 que l'on a N = N, + Q^,, N'=N, + Q'^', où Q et Q' sont indépendants de a et a! . On en tire

da aa a oa' oa' a^

La fonction N, étant homogène et de degré zéro, on a

il en résulte

a' -^-y — N' == — ^ -r- — N, + Q' —r ^a' oa a-

Les formules (23) donnent ensuite

On est ainsi ramené au calcul de ->— •

Or on a vu au n'' 123 que N, est de la forme

(26) N, = Vf>) a'kU) + V'/' a'kf + V'/' a' A'/' -i- . . . ;

V^-", Y'/', . .. sont des coefficients indépendants de a et a'; A^^' est l'une des fonctions A'-^', B^-'^ Ç}^\ D^-'' définies au n"* 104; on a fait en outre

" 1 . 2 . . . /î da" On en tire

da i.2...(/i — i) da"' 1.1... n da""^'

(27) «^^J^„Ai/'4-(,. + i)A;/:i,. .

Les formules (2G) et (27) donnent finalement (28) a-p= V(>)a'AV' -H V</'[a'A'/' 4- 2a' A'./'] + V!/*[2a'A^/' 4 Sa'A'/'] 4-. . . .

On voit ainsi que le calcul de -^ se trouve ramené à celui des fonctions A'„" , BJ^", . . . , calcul qui sera fait par les formules (T) du n'^ 115.

egAPITRE XX.

134. Nous adoptons les notations très claires employées par Le Verrier dans les tomes II et X des Annales de V Observatoire .

Nous nous occuperons d'abord de la planète P, et nous partirons des formules (C) du n° 132; nous poserons

dt fx Oh

dA, vi' . dR(, 1

-7- — — 2 — na^ -~^ 3 di p. aa

d^A „ m' ^ (?Ro,, dt^ Il dl

d§ m' , dRo I

-7-= — /mcosu' — r— !-:

dt [i ^ de

d^S m' /iac0S(]; <?Ro,i dQ

dt ^x e Oui dt

I m' 2 oRo.i

2 ij. cos<|» dri

d& i m' na i ^Ro,i

2 u. J . f] ôx'

COS - COS^j>

^^^,na,^n^- ^j^^^„

COSO'

Ô(ji

Nous ferons de plus

alors les formules (C) du n° 132 nous donneront

d'A ~dt^

——=—2]in > a -T— e e " ■^•' cosD, Bncostj^ ^ ANe''-*e''''r]-^'cosD,

^ ^B/icos^|;y A:Ne"-'e'/''Y]/sinD,

^1 'dt

dV dt

B/î cos -

d7^ ^ /Ne''e'/''Y]/-» cosD,

cos - cosJj

B/ilang