COS'I

y (/+A-)Ne^'e'^''Y]^sinI);

da d^ d^p d^\

dt ~ 'dt' It^ ~~dï^

ds dAo

^ dff

de d(S d; , I dil

~j- z= — tang - cos <i> j7 )

dt dt 1 ^ la dt

dm di

e-ï- = -y- 4- étang- sino -rr) ' dt dt ^2 ^ dt

d(S) dt

. de

^ dt

sin(T— 9) -r- +COS dt

cos

. ./dC. dV\

^'-^^-dT^^y

Pour la première approximation par rapport aux masses, d'après ce qui a été dit au n° 71, il faut remplacer, dans les seconds membres des équations (è) et (c), les éléments «, e, . . . , a', e' , ... par des constantes a^, e^, . . . , «„, ^'„, ... ; ce seront douze constantes d'intégration, dont les valeurs devront être déterminées ultérieurement par la comparaison de la théorie avec les observations; les constantes 7^o et n'^ dépendront de a^ et a'^ par les relations

ni al = f ( I 4- w ) = f /j. , n\^ a

;^a;»=.f(i + /n')trrf^'.

On aura ensuite

Do = {inQ-\- i' n'^)t + /£o+ ^'£'0+ ^^"^0+ ^"''^^o— (^' + /^")'^o — («' + /^'')t',).'

En calculant 4^0» Aq, . . . , Vq par les formules {b), on aura à effectuer des quadratures que l'on calculera comme il suit :

1 sinDo^^ = —

cosD,

iiifj 4- « «0

/ cosDo

sinDn

ihq + v n^

r r . T, ,,, sin Do / / sinDo dt^ = — — .,- r

135. Pour abréger l'écriture, nous omettrons les indices zéro, en nous rappelant, bien entendu, la signification de a, e, . . . , a\ e' , . . . , qui, dans les seconds membres des équations (^) et (c), seront des constantes d'intégration.

Nous poserons

et nous trouverons

ri =

2Ba y ■ ' ., Ng^'e^^'' VcosD,

- 3B y , . ', ,, ^e''e"''rifsmi), 2B y ^^-a^e^e'^'Yi/sinD,

BcosO; y ■ '\, Ne^^-U-^^''-/i-^sinD,

- BcosO; y -^- -,- Ne''-'e"''-/]/cosD,

B cos -

2 COS(|i

COS- cosu;

y ■ •^■, Ne/'e''''yi/-» sinD, ? y ■ ", Ne^'e'/'V/-' cosD,

Btang- . .

1 y -ilL;LNe/'e'/''Y3/cosD,

On voit que ces valeurs de ^ A, . . . , V sont de la forme

!^=TAcosD, A=^Lsinl), a^r=2]Ecosl), .\o = ^CsinD, S^VGcosD, .f — ^ Psinl),

On a les expressions analytiques des coefficients A, C, . . . , U qui correspondent à chacun des arguments D, et l'on pourra calculer leurs valeurs numériques quand on connaîtra celles des constantes «, e, ....

On trouvera l'ordre de chacun des coefficients A, C, . . . , en faisant la somme des exposants de e, é et yj dans ces coefficients; car nous considérons toujours e, é et Y] comme de petites quantités du premier ordre.

Peut-être convient-il de remarquer qu'il résulte de ce qui a été dit au n° 126 que les expressions ci-dessus de 4^, A, . . . , V ne dépendent en aucune façon, ni de la position du plan fixe des xy^ ni de l'orientation de l'axe des x dans ce plan.

Nous ferons encore observer que l'on conclut des deux dernières formules (^),

7T = 2 sin^ -,

de sorte que, sauf le cas de m = o, les divers termes de V seront beaucoup plus petits que les termes correspondants de G. Les équations (c) donneront ensuite

Oi £ z=ix -^^ tang - + tang ^ sin 9 â, (9, (/) / ôi e = y? — tang -^ cosd> — >

^ 2 ^ 2rt

eôiGj^= rf + e lang - sin 9 ôi0,

(5,9 = - fj sin(T— 5) + (S -h V)cos(t — 0), 1 sin9Ôi0 = -hgcos(T— 0)-h(S + V)sin(z- — 0).

Si l'on remplace dans ces formules les quantités ^, A, .. . , V par leurs valeurs (e), on aura les expressions, analytiques ou numériques, des inégalités périodiques du premier ordre des éléments de la planète P.

Dans le cas où le diviseur i + i'v qui figure dans les formules (d) est très petit, on a les inégalités à longues périodes dont il a été question au n" 74.

Remarque. — On aurait pu calculer S, p par la formule

d.p=: I d,n dt =2 / §iadt:

elle aurait conduit au même résultat que celui que nous avons tiré de l'équation

d-p „ m' , <9Ro.i

dt^

136. Les formules (d) cessent d'être applicables lorsque i et î' sont nuls simultanément, car alors le dénominateur i -h î'v est égal à zéro.

Dans ce cas, il faut remonter aux expressions (b) et les intégrer après y avoir fait i = o, i' = o, et en regardant D comme une constante. Si nous considérons l'ensemble des termes de la fonction a'Roj pour lesquels ï==«' = o, termes que l'on appelle séculaires, comme nous l'avons déjà dit au n" 73, nous aurons

a' Ro,, = ^Ne'' e"'' r/ ces D,

D = A-w 4- A' cj' + mt'.

Pour simplifier l'écriture, nous employons ici les mômes lettres N, h, h\ /, k, k\ u, que précédemment.

Cela posé, nous tirerons des formules (/>),

J = R/ifcos'l V /iNe''-'e'^''Y]-^cosD,

- Mnt

5 r= - \\nt

V/Ne^'e'''''y]'''-' cosl),

cos - COS'I'

lang

COSvj;

2(f + A-)Ne"e"''yî/sinl).

Nous aurons ensuite, pour déterminer les variations séculaires du premier ordre des éléments de la planète P, les formules suivantes :

ài l ^dis = ol> 4- Jtang i + tang - 51090,9,

eèiTs = ^ -i- e tang - sincp (5,9,

On retrouve le résultat du n** 73 : dans la première approximation, le grand axe n'a pas d'inégalités séculaires, tandis que les cinq autres éléments £, e, cr, cp, 0 en sont affectés.

Il sera facile de calculer par les formules (g) et (A) les variations annuelles de ces cinq éléments; il suffira, en effet, de faire / = i, en supposant que n et n' soient exprimés en prenant l'année julienne de 365^ 25 pour unité de temps. On trouvera ces valeurs numériques pour les anciennes planètes dans le tome II des Annales de V Observatoire de Paris, p. loo et 102. Il faut, bien entendu, faire la somme des valeurs obtenues en combinant la planète P, d'abord avec P', puis avec P",

Si l'on fait, pour cbacun des éléments, la somme des inégalités périodiques et séculaires données par les formules (/) et (A), on aura l'ensemble des inégalités du premier ordre.