Occupons-nous maintenant de la planète P

Nous nous bornerons à reproduire les formules sans explication, vu qu'elles sont tout à fait analogues à celles que nous venons d'obtenir. Nous posons

dt ix' àl'

dt''

0 —j II II ) ix' dL'

dt ix' Oa'

d§' dt

ix' ^ de'

d^' m n'a' co?,^' (?R,,o dt ~ ix' e' dis'

dq' dt

n'a' cos- .T^

1 m 2 aR,,o

2 ix' 008(1;' àf]

dW dt

/l'a' tang- ,,„ ,.. ,

^ cos- cosJ'

COS^' V àl' ' ÔTS' )'

Les formules (C) du n° 132 nous donnent

^== 2B'n ^(a^+w\e"e"^-nfcosD,

B'/iCOS-y V A'N'e/'e"*'-'ï2^'cosD,

dr dt

B'/iCOS-y 21 ^'N'e"e'/''-'n/sinD,

li /i cos -

6^^ 2 CCsdi'

^ 2/N'e''e'/''rî/-'cosD,

rf5' I B'/i

dt 2 .1 , ,

cos - cos ai' 2 ^

^ MNe''e'''''Y)-^-' sinl),

B'nlang -

— 1 y (i'+Â:')N'e''e'/''-/i/sinl);

dt ~~ dt ' dt- ~ df'

de' dA^

~dt "" dt

y d.f o' . ,dB'

+ lang-^-^+tang^sin(p -^,

— - = -j lang -^ cos y — -, -if-:

dt dt ^2 ^ -ia' dt

dm' d.f ,^ 9' . ,dB' e —T- = -7- + e' tang — sin cp' -7- >

dt dt

-^= sm(.'-^y)-L-cos(x-6')(^

dt dt

sin

,-f =eos(.--y)f-sin(.'-.',^'«^' ''''

dt dl

On trouvera sans peine, en partant des formules (6'),

A'=r-3B'v y 7-r—^,-\> N'e/'e'/''VsinD, j^ {i -+- 1 vy

.V.= 2B' y ^-'-^ (a ~ +N'^ e"e'/''Y]/sinD, .^ i-^ l'v \ aa )

i' r=. B' cos ^' y ^— - N' e/' e'/''-» -o-^' sin D, (p' ___g/costL' y - ', N'e/'e''''--»Y)-^cosD,

B' cos - .

y ^Ar N'e/'e'^*'-n/-*sinD,

5' — __ 1 ^ y ^-,,- ^e''e"''nJ'-' cosD,

2 J , , ^âmà l + l'v ces - cos 01^ 2 ^

i y :-'4-NV/'e'/''VcosD.

cos 4;'

Les inégalités périodiques de la planète P' seront déterminées par les for mules

(5,£' — ol)'-i-r?'lang j — htang— sin9'âi0', ô, e' — ^^' — tang -"^ cos J>' -^ ,

e'Ô.Gj'^.f ■+-e'tang ^ sin9'aiQ',

(5,9'r= g' sin(T'— ^') — (5'-i- V')cos(t'— Q'), sino'ôiô' — — f,"cos(T'— 5') - (S'+ V) sin(r'— Ô').

On aura enfin, pour le calcul des inégalités séculaires,

a'Rj.o = 2] N'e/'6''/''VcosD,

1) = A:co -h Xt'gt' -h ar' ï. — I.

.%'=: 2B'n«2 (a ^ 4-N')e"e'/''-/]/cosD, (£'= B' nt cos^' ^ k'^' e"e''''-'r/ sinD,

iS^')

cos

q' =- B'nt

S' = - B'nt

cos - cosu>

tans -

2(r'+A')N'e''e'/''VsinJ);

COSi|i' d,rt =: O,

e,rjjro' = i' 4- e' tang — sin9'(5i B' ,

ô,9' zr: g'sin(T'— 9') — (5'4-V')cos(t'— ô'), sino'a,^' =-(j"cos(r'-5') — (5'-h V')sin(z-'— 9').

Le lecteur trouvera une application très détaillée des formules ci-dessus dans le tome X des Annales de r Observatoire de Paris, pour Jupiter et Saturne. Les Tableaux numériques donnant les valeurs des quantités A, L, ..., T y occupent les pages iio à 120; les pages 127 à 142 sont remplies par les Tableaux qui répondent aux formules (/). Les données correspondantes pour Saturne se trouvent dans le même volume, p. i45 à i63 et p. 164 à t83.

138. On peut présenter sous une forme un peu différente le calcul des perturbations du premier ordre de 9 et 0, 9' et 0'. On a trouvé

^ 5,(p — — (j'sin(T- — 9) + (5-f- V)cos(t- 9),

I sincpô, 9=:4-()Cos(t — 5) + (C4- V)sin(T — 9).

Supposons que l'on cbange de plan fixe et que l'on adopte la position du plan de l'orbite de la planète P' à un moment donné /„ ; nous savons que les quantités

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. SSq

d', C et V ne seront pas affectées par ce changement. On a, en général {fig. 21), NG = T — 0; à l'époque /o> le grand cercle N' G est couché sur ^y; on a NG = o. La

Fig. 21.

quantité t — G, qui est ainsi nulle à l'instant t^, sera petite, de l'ordre des masses, à l'époque t. Comme il s'agit ici des perturbations du premier ordre, on pourra faire, dans les formules (2), t — 0 = o et sin:p = sinJ. Les valeurs correspondantes de (5, 9 et §1 0 seront les perturbations de l'inclinaison et du nœud ascendant de l'orbite de P sur le plan primitif de l'orbite de P', quantités que nous désignerons par <I> et 0; ainsi

0=jNG, 0:=^N.

Les formules (2) donneront donc

(0 (î, <I» =: 6 + V, sin J (5i 0 -:- g.

Ces équations offrent une représentation physique intéressante des quantités G + V et 0".

Les formules (2), entendues dans leur ancienne généralité, pourront s'écrire

ô, 9 " cos(t — 5) 0i4> — sin (r — B) sinJ ôi0, sin9(5i 0 — sin {- — 0) ôj^» -t- ces (t — 0) sin J ôi0.

Si l'on a égard aux expressions {d) de d", G et V et que l'on pose

B ces -

2 COS4; i -\- l V

a H- 2(f + a:) sm^-

K=-i- i^ , ,^ ^Ne''e'/''r)/-S

COS - COS'ii

on pourra écrire les formules (/) comme il suit :

(^) ô,<& = 2KcosI), sinJoi0:^2!ïïs'"^-

34o CHAPITRE XX.

En portant ces valeurs dans (y), il vient

1 a,9r= 2 ^~V^ ^^^^^ + r - 5) - 2 ^-^ cos(l) - T 4- e),

On obtiendra ainsi les diverses inégalités périodiques du premier ordre de 9 et deO.

On sait qu'à un argument donné D, dans lequel le coefficient de t' est 11, correspondent les valeurs — it, — m --h 2, — m + 4, • • • de/; si l'on peut négliger

sin-- devant l'unité, il sera permis de faire/— — u; les formules (3) donneront

2 cos ^ i-h i V

les expressions (/) se simplifient et deviennent

(/,) o,9=:2]Hcos(D-+-r— 5), sin9 ô,Ô=: 2] ^ sin(D -f- t — 5);

les formules (k) deviennent, dans la même hypothèse,

(A:,) ô,a) = 2]HcosD, sinJôi0 = ^HsinD.

On voit qu'on passe de (X-, ) à (/, ) en remplaçant simplement D par D 4- t — 0.

Si les formules (/, ) et (/-, ) ne sont pas entièrement rigoureuses, elles donnent du moins, sous une forme très simple, les parties les plus importantes de S, 9

eta.o.

Dans ses théories des diverses planètes, Le Verrier calcule les inégalités périodiques du premier ordre de 9 et 0 par les formules (k) et (/).

Faisons les mêmes modifications pour la planète P'.

Soient $' et 0' l'inclinaison et la longitude du nœud ascendant de l'orbite de P' par rapporta la position qu'occupe à l'époque t^ le plan de l'orbite de P.

On trouvera

(i') Ô,^' = Ê'+V', sinJÔ,0'^(j";

en portant ces expressions dans les formules

0,9' = (/' sin(T' - 0') — (G'-h V) cos(t'- 0'), siiiv'o//.^-- (,"cos(t'- 0') — (G'+ V) siii(T'- 0'),

on aura

ôjcp' =— cos(-'— 0') (5iO'+ sin {z' — Q') sinJôi©', sin9'(5, B'^— sin(T'— 6') <5,$'— cos(t'— 5') sinJôi©'.

On pourra poser

(A-') <5,0'r=^K'cosD, sinja,0' = 2lH'sinD;

on en déduira

I a.9'— i:'^-cos(D+--r/)+2

cos(D — -'+6/'),

sin9'ô, ^'=-2 -^'"^^'sin(D+r'— 6')-^ M!^^' sin (D ~ -' + ô').

139. Il nous faut donner encore les formules qui permettent de calculer les perturbations du premier ordre de 'z' et yj, quantités qui figurent explicitement dans les développements des fonctions perturbatrices; la connaissance de ces perturbations est très utile pour le calcul des inégalités du second ordre.

La première des formules (12) du n*' 130 donne d'abord

di , fl, <^9 . , ., . dO , , ,,. do' • , , riK ' I dB'

^=cos(r-9)^+sin(.-^.)smcp^-cos(T'-ô')-^ - sm(r - 6 ) sm9' ^;

en remplaçant ;^ et -7- d'une part, -^ et --j- d'autre part par leurs valeurs (c) et (c'), on trouve aisément

d{f(l^ d\\ /d& dV^ ^^^ dt ~\di ~^ dt }^\dt '^'di

On peut ensuite mettre la troisième des formules (12) du n'^ 130 sous cette forme

. , dz' . , r^ do , , , . dB . , , n,^ do'

'■"•^ dt =- «'"(^- '^) i + cos(r- 0) SH19 + sm(. - 5 ) -^

r dO' do'

(5) { —cos{z' — B')s'm(^'--. (i — cosJ) sin(T'— 6/') -^

dB' -+- [sin9'cos(T'— 6') — sin9 cos(r— ^) + sinJ] -y--

Les quatre premiers termes du second membre se réduisent ^^ 7^7 + 7/7 quand on y remplace, comme plus baut, -y^> -i-> -j-> -j- par leui's valeurs (c)

JÇif

et (c'). Il y a lieu de transformer le coefficient de -y- en y mettant pour cos(t — ô) et cos(t' — 0) leurs expressions tirées des relations

coso'^= COS9 cosJ + sino sin J cos(t — ô ), coso := coso'cosJ — siiicp'sinJ cos(-'— 0').

On trouve ainsi

, , rts • , r. • r s'ilî^ J — ( I — COS J) (COS C3 + COS o' )

sino' cos(t — 6') — sinocos(T— h) -t- sinJ = ■ — ^^ t^ '■ i-

^ ' sinJ

= 2 tans - sin- - + sin^ sin^ -

et la formule (5) donne finalement sinJ

— "' H — Y 2 sm^ - sm(T — 6')

dt dt dt

,^ d^ dt

2tang- , f IV /f/

H : -r- Sin- ~ 4- sin^ sin^ - siii 9 -r-

sinco \ 2 2 2/ ^ rt^

Les deux derniers termes du second membre de cette équation seront très

do' , . , dh'

do' . dh'

petits; car les coefficients de ~- et sincp' -r- sont du second ordre par rapport

aux inclinaisons.

En intégrant les équations (4) et (G) multipliées par dl, on obtient les expressions suivantes pour les perturbations du premier ordre de J et de 1' :

sin JÔjt' — ()' -h ()"— 2sin^ - sin(T' — ^')o^o J

2 lang - . , ,

H ; — 7— siii^ - -f- Sin- siii- - 51090. y ;

sin9' \ 2 2 r, ; T » '

d'où, à cause de yi = sin -> ' 2

Oj-O = cos

tl I 2 2

-h lang - ( sin^ ^ + sin^ '^ sin^ - ) 0, 6'

PKIITURBATIONS DU PREMIEPx ORDRE DES ÉLÉMENTS. 343

Le plus souvent, ces formules pourront être réduites à

OU encore a

/ -0017'= ~ [sinJ<5,0-i-sinJ^i0'],

formules dans lesquelles on devra remplacer ô/P, sinJ(5,0, <5,$', sin J(5,0' par leurs expressions (X^) et (k'), si l'on veut avoir les inégalités périodiques de t] et de ^'.

On pourra obtenir aussi les inégalités séculaires du premier ordre de yj et t', en remplaçant dans les formules (m), (], g, V, ({', G', V par leurs expressions (g) et (g'), et o,o', "5,0' par les valeurs (h'); on voit ainsi que les quantités Y] et r:' sont afîectées d'inégalités séculaires.

140. Nous avons dit déjà au n*' 63 que, quand les inclinaisons ç et cp' des orbites sont très petites, il est souvent avantageux d'introduire, au lieu des quatre quantités ç, 0, o', 0', quatre nouvelles variables p, q, //, q' définies par les relations

p = tango sin9, 7 r= tango cos9,

p'=; tango'sin^»', 7'= tangcp'cosô';

on y trouve cet avantage que les variations de />, <y, //, q' sont toujours petites; il n'en serait pas de même de la variation 0 si 9 était très petit; de plus, l'introduction des variables/? et q facilite le calcul des perturbations de la latitude héliocentrique.

En différentiant la première des formules (7) et remplaçant ;7? 6t y- par

leurs expressions, on trouve successivement

dp r^dO sin5 do cos9 . dB s\nQ do ^2 . r. do

-±- — laiigQ COS0 -j- H s j: = smo -7- H -± -A tango smô -^

dt ^ dt cos^9 dt COS9 ' dt COS9 dt COS9 ^ dt

cos9 r , , di\ . ^ ,^ /f/G dsw

sinOl . , , di{ ^ ./dC^ d\\\ ^'^"^2r/9

coso L ^ ' dl ^ ' \dt dtj] C0S9 dt

344 CFUPITRE X\.

C'est ainsi qu'on obtient les formules suivantes :

dp d(, . fd(D d\ \ o do

coso -f = cosT ~r -\- sin- [—, — i — i- \ ~^ P tan» - / ' • dt dt \dt dt ) ^ "^ 1 dt

dq . d(] /d(s dV\ o do

c^so ~h =-s»nT -^ +COST i-r- + — +^tang^ -J-,

coso

cos

, dp' , dq' . , fd& d\'\ , o' do'

dt dt \dt dt J ^ ^2 dt

,dq' . , dC{ , /f/S' dW'\ , o' do'

^ dt dt \dt dt ) ^ ^ •>. dt

On peut avoir besoin d'exprimer J, ": et t' à l'aide de /?, q, p et q' \ pour cela, il y a lieu de se reporter aux deux dernières formules (4) du n"* 117, et de les multiplier respectivement par cosO' et sinO', ce qui donne

sinJ sinT'=: sin 9 cosô' sin(^ - V) — cos 9 sin 9' sin 5' -\- sin 9 cos 9' sinÔ' cos (9 — 9'),

d'où

7 sinr' — tang9 sinô — tango' sin 5'

cos 9 cos 9'

H -% \— coso' sin 9 + cos9'sinô'cos(9— 9') -+- cos 5' sin ((9 — 9')]

cos 9 ' ^ V /.i

sinJ

, , • , <2' tang9 . , , ,,, ,,

7 smr =/> — p \- 2 sin* — — ~ sm(y — 5 ) cosô ,