COS 9 COS 9 2 COS
D'autre part, la formule
cosJ = C0S9 COS9' 4- sin9 sin9' cos(& — 9')
donne
cosJ = COS9 cos9'(i -i-pp' + qg');
or d'où
0052900529'=- ^ rr- -, ^;
il en résulte successivement
{i-^pp'^qq'Y
C052J = (10) tang2Jz=
ip -p'T- + {q-q'?-^ jpg'- qp'?
{y + pp'^qq'Y
Les formules (9), (9') et (10) sont rigoureuses et déterminent avec précision les quantités J, t et t', en fonction des auxiliaires/?, q, p' , q' .
En négligeant les cubes des inclinaisons, les relations (9') donnent
( smi s'xnx' =^ p ^ p' ,
( sinJ coST =^q -- q .
D'autre part, la formule approchée
T — t'=: - tang9 lang9' sin(0 — 6'),
démontrée au n" 117, donne, en exprimant t — t' en secondes,
sm 2"
On tirera des équations (8) les formules suivanles pour calculer les perturbations du premier ordre des quantités/?, q, /?', q' :
l COS9 «5,/? -- f/ COST -j- (G + V) 5inr \- p tang - (5i9,
(cosva„=:-;ysi„. + (6 + V)cos.-H,ta„6?a,?;
' cp'
l cos9'ô,/?' = — (J'cost'— (5'-h V')sinT'-i-/>'lang ^ ôi9^
f cos9'ô,7':^-]- C,"sinT' — (S'-i- V')cosT'-h 7' lang -^ (5,9'. T. - l. 44
On peut écrire encore, à cause des relations (/) et (i'),
o C0S9 ôip rr: siiî T ôi4> -+- cosT sinJ ôj 0 + /» tang - âi9,
o coscp §iq =- COST §1^ — sinr sinJ ^i© + q tang - ^rf;
l cos9'ô,/>' = — sinT'(5i<t'— cost' sinJôiô' + />' tang — O19 cos9'<5i^' = — cost'Oi<^'-+- sinr' sinJ(5i0' + 7' tang -^ (5i9',
Ces formules permettent de calculer les inégalités périodiques du premier ordre dep,q, p', q', et aussi leurs inégalités séculaires, ou plutôt leurs variations annuelles.
En tenant compte des relations {k) et (k'), on peut mettre les formules (o) et (o' ) sous cette forme :
COS9 dip — > sm(D + t) + > ■ sin(J) — t) +/; tang -^ dic^,
(Ol) {
COS9 OiY = > cos(D 4- t) — > — ■ cos(D — r) -hq tang - Ô19;
(oj
( cos9'o,/?'r=— V • sin(D + t') — ^ sin(D — t') 4-/>'tang |- (5i9',
) ,. , x:iH'+K' ,„ ,, ^H'— K' ,-^ . ,, 9' ,
/ cos9'«5i7'=r=— 2^ ■ cos(D +t')4-^- — ^ — cos(D — T') + 7'tang^- 0,9'.
Les derniers termes des seconds membres de ces équations, ceux qui contiennent 0,0 et'î,^', seront le plus souvent négligeables; on en tiendra compte, s'il y a lieu, en ayant égard aux relations (/) et (/').
Il nous reste enfin à calculer les inégalités du premier ordre de t'— t; elles nous seront nécessaires pour calculer celles de X et w par les formules
X tr= / 4- t' — T, W — GT + t' ~ T,
en partant des inégalités de / et nr, lesquelles ont été considérées déjà; or on tire de la formule (12)
ip) dt{r'-r)='-{p'àiq~q'dip-pèiq''i-qdip');
donc, en tenant compte des formules (o,) et (oj, on aura les perturbations cherchées, lesquelles sont d'ailleurs très petites et négligeables dans un grand nombre de cas.
La différence t' — ^ sera aff'ectée d'une petite inégalité séculaire du premier ordre.
141. Les trois termes de l'expression (h) de §</= o, £ contiennent/ en facteur; soit tj/la somme de ces trois termes; on voit que l'expression de/, fournie parla première approximation, sera de la forme
(i4) «f + £ 4- af + les perturbations périodiques;
£7/ représente les inégalités séculaires du premier ordre de l'élément £. Le coefficient de l dans cette formule (i4) est égal à /î, , en posant
c'est lui que l'on obtiendra directement quand on comparera deux valeurs de la longitude moyenne déduites des observations faites à deux époques séparées par un intervalle de temps considérable. 11 est naturel de déterminer une quantité r/, par la relation
(i5) /i^rrj = f(i +m);
on a déjà
et l'on en conclut
n\a\ ^= (rii — aYa^;
d'où, en négligeant a-, qui est de l'ordre de m'-,
On pourra écrire ainsi l'expression (i4)
«,; + £ + les perlurbalions périodiques ;
on calculera a^, puis a par les relations (i5) et (16); partout où a figurait directement, on devra donc mettre sa valeur (16). Sous les signes sinus et cosinus, ce qui entre jusqu'ici dans nos formules, c'est «/ = (/i, — o-)/; on devrait donc faire cette substitution si l'on tenait à ordonner rigoureusement suivant les puissances des masses perturbatrices. Mais, dans l'approximation suivante, il faudrait remplacer / par /i,/ -1- e -f-. .. , c'est-à-dire arriver finalement à mettre /i, au lieu de n; il vaut donc mieux le faire dès la première approximation.
Quand n figure en dehors des signes sinus et cosinus, il n'est là que pour
abréger l'écriture et représente l'expression t/-^^-^; c'est ce qui arrive, par
exemple, pour le coefficient — na- qui entre dans la première des formules («). On ne doit pas y remplacer n par /î,, mais écrire
toutefois, pour la première approximation, on pourra ne pas tenir compte du terme en a- de l'expression précédente, car cela reviendrait à introduire immédiatement un terme de l'ordre du carré des masses; on voit donc que, dans la
première approximation, on pourra prendre - na- = — ii^a\, ce qui revient a
remplacer partout /i et « respectivement par /^, et a^ ; mais, dans les approximations suivantes, il faudra procéder comme nous l'avons indiqué (' ).
Donnons quelques indications sur le calcul de a, par la formule (i5); nous appliquerons cette formule au mouvement de la Terre autour du Soleil en mettant deux accents aux lettres; nous aurons ainsi
En éliminant feutre (i 5) et (17), il vient
l'unité de longueur étant arbitraire, nous la choisirons de manière que d\ = i, ce qui nous donnera
iH-m
La formule (17) montre que l'unité de longueur se trouve être actuellement le demi grand axe de l'orbite d'une planète fictive qui ne serait soumise qu'à l'action du Soleil, et serait animée d'un moyen mouvement égal au moyen mouve-
(> ) Pour ne pas multiplier à l'excès les notations, nous laisserons n et a là où nous devrions mettre //) et «|.
ment apparent de la Terre. On a, par les observations, pour le moyen mouvement de la Terre, en une année julienne de 365^,25, n, = i 295977", 38. Le
Verrier adopte m" = ^r-~ — ' et il a trouvé, par la théorie du mouvement de la
Terre, a"^ -+- 2", 507, Les formules ci-dessus deviennent ainsi
«j z:= (4,0760645) yi-l- m n^ ^,
le nombre mis entre parenthèses dans la première de ces formules désigne un logarithme.
Remarque. — Le changement de n en /z, permet de tenir compte, avec la même forme analytique, des inégalités séculaires du premier ordre de l'élément £.
Nota. — Outre le lome X des Annales de l'Observatoire de Paris, on pourra consulter avec fruit, pour l'application des formules de ce Chapitre, un travail de M. Perrotin sur les perturbations de Vesta {Annales de l'Observatoire de Toulouse, t. I).
35o CHAPITRE XXI.
Quand on connaît les perturbations des éléments de l'orbite d'une planète P, il est facile d'en déduire les perturbations des coordonnées béliocentriques. Nous ne nous occuperons ici que des perturbations du premier ordre par rapport aux masses.
142. Perturbations de la longitude héliocentrique. — Considérons d'abord la longitude dans l'orbite, v. L'anomalie moyenne est égale à
et l'on a, en se reportant à l'expression de l'équation du centre, y, donnée au n" 93,
( y — Cl sin(X — w) -f- C2sin2(>. — &)) +. . .— . CiSin(/ — gt) -t- C2sin2 (/— ro) -I--. . . , avec ces valeurs de C,, Cj
(2) { ^ r (fy 21 [^
On voit que la valeur de v dépend des trois quantités /, e et rar. 11 n'y a qu'à remplacer ces quantités par leurs valeurs en tenant compte des perturbations
PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONNÉES. 3oi
du premier ordre déterminées dans le Chapitre précédent, savoir
/ -i- (5, /, e + (5i<?, ro + ^iGT.
On trouvera par la formule de Taylor, en négligeant les carrés et les produits de S, /, §, e, 0, GJ que nous laissons actuellement de côté comme contenant m!- en facteur,
(5i p = â, / 4- Cl cos(A — o:»)(5i ^ H- 2C2 C0S2 (A — w) (5, / + . . ,
H j-^ sin (A — co) ô. e ^ cos(}. ^w) eôicr,
+ -j^ sin2(A — w) ô,e cos2(X — co) eâjcr,
On tirera d'ailleurs les valeurs de -^ , -7-% • • des formules (2), savoir
dC,
fe^
de
dC^
de
Les formules (/) et (h) du n*' 135 donnent les expressions de o, /, S,e et e^,TS. Si nous considérons spécialement dans ces expressions, ce qui concerne un même argument,
D = il -+- i' l' + A- w 4- k' xs' 4- ut', et si nous posons d'une manière générale
/Cy^i/ = ^ ^sinD, (5) j ^à,e.^'^^;)\1cos\),
la formule (3) nous donnera
6,t^ = Ô1/+ 'V [2^sinD cosy (X — w) -+- OK cosD siny^A — co) — ^î!) sinDcosy (X — co)] ou bien
On peut faire une remarque utile : Cj contient des termes en e^, e^"^-, e^"*"*, ... ; e étant supposé petit, le premier de ces termes sera de beaucoup le plus important, et l'on aura à peu près
^^' de ■' e
D'autre part, en se reportant aux formules {d) et (/) du n° 135, on voit que les parties principales de §,e et eo^xs ont pour expressions
Ô,e = a^r=:-.B y -r- 1, Ne/'-'e'/''ï]^cosD,
Jmd l -i- l V
eè^m = S= B y . '\, Ne^'-'e'^^'Y]/sinD. ^^ i -^ i -j
Si on les rapproche des formules (5), on trouve
HC ■ k
Oit ^- -^ B . %- Ne/'--'e'^''r)/, de i -h i V
DL = / ^-^ B -.- ~- N e'^- ' e"''nf. En tenant compte de l'équation approchée (7), il vient
Or les valeurs de h sont égales à | ^ | ou | X: | -+- 2, ... ; les termes les plus importants correspondront à /< — | ^ [, ce qui donne
Donc, dans l'expression (6), l'une ou l'autre des quantités oïL + 3L et OÏL — X sera voisine de zéro, et il en résultera une simplification notable.
On calculera de même les perturbations de la longitude qui répondent aux inégalités séculaires de e et ci. Toutefois, il convient de dire que les astronomes ont l'habitude de ne pas faire figurer les inégalités séculaires de cr dans le calcul de ^^v; cela tient à ce qu'ils calculent l'équation du centre par les formules du mouvement elliptique
(8) y = aesinÇ -H ye" sin aÇ-H...,
