Ç = / — CT
mais, en y introduisant la valeur de xs affectée de ses inégalités séculaires. Ils emploient généralement aussi dans ce calcul la longitude moyenne nt -^ t à\x
mouvement elliptique augmentée de ses inégalités à longues périodes. L'expression (8) de y est convertie en Table d'argument '(; c'est cet argument sur lequel on fait porter et les inégalités séculaires de ct et les inégalités à longues périodes de /.
On voit donc que, dans la formule (3), o, trr doit représenter l'ensemble des inégalités périodiques de cï et o,/ l'ensemble des inégalités du premier ordre de /, en omettant celles qui ont de longues périodes. On a vu, à la fin du Chapitre précédent, que / peut être considéré comme n'ayant pas d'inégalités séculaires du premier ordre; la variation séculaire de l'équation du centre ne proviendra donc que de la variation séculaire de l'excentricité. On la calcule comme il suit :
On a
les formules
donnent
dy difi' — K) dw
de ~' de ~ de '
lang- - <p = 4 / tang - u,
1/ — e sin « = s
du de
s'inu . i + ecosnp-
I — e cos H I — e'^
dw
sin «' sinu
du sinu' . i + ecos(v sinw
de
de I — e^ 1 — e^ i — e^
. , , 2 + «C0S(P — ct) ^
On aura donc
Si l'on attribue à §, e sa variation séculaire, on aura pour ô,y une expression de la forme OLt; a est une fonction de ç ou de t; on donnera sa valeur dans la Table même dont on a parlé ci-dessus, à côté de la valeur de l'équation du centre qui résulte de la formule (8).
Quand on aura obtenu les diverses inégalités périodiques de t^, on y remettra l -h z' — T et cT + t' — T au lieu de X et w. On réduira ensuite en un seul tous les termes dépendant d'un même arc gt-h [3, et l'on construira, une fois pour toutes, une Table numérique avec / pour argument, donnant la valeur de l'inégalité en question.
On passera de la longitude ç dans l'orbite à la longitude liéliocentrique r, par les formules (/) du n° 33,
tang*- tang*-
P = : — /- sin2((^— 0) H -. — ,-.- sin4(t' — 9)—...,
^ sini" ^ ^ sin2" ^ ^ '
les inégalités de p seront généralement insensibles, et on les atténuera en remplaçant ^ par sa valeur perturbée; il y aura lieu toutefois de tenir compte de la variation séculaire de p provenant de celles de 9 et ô.
143. Perturbations du rayon vecteur. — On a, en se reportant à la valeur de X donnée au n° 93,
(9) r=z a -^ ax-=: aAo-^ aAiCOs(/ — cr) + «A, cos2(/ — ra) +. • .,
avec ces valeurs des coefficients,
(10) i-'^=~^{^-^'{iy-i{i
On tirera de là les dérivées
dAo d\i dA.2 de de de
après quoi, si l'on remplace dans la formule (9) a, e, / et cr par a + S,«, e -h S, e, / + S, /, cT + 5, Gî, on aura, en négligeant les carrés des masses perturbatrices, l'expression suivante de S,/-,
ôi/'r= Ao<5ia + AiCOs(>. — w) ôja 4- A2COS2 (X — w) ô,a + . . . — a Al sin(X — w) â,/ — 2aA2 sin2(X — &))<5i / — . . .
(il) \ H i— ^ ô.e + acos(>. — oj) -j— o,e-i- acoS2(A — w) -7- Oje -H. . .
' de de ^ ' de
H î- sin(>.— 03) eèiW h ^ sin2(>i — w)eôiCT + . . . .
Considérons les termes qui contiennent un même argument D, et posons
- A; ô,a = ^ HcosD, - ja \j (5i / - - y K sin D,
de «.' = 2:P'=°«I'.
ad\j
•^^^eô,Gj = 2QsinD;
en portant dans (i i), il viendra
+ (h - K + ^-^) cos(D -Jl +y 03) J .
On verra, comme pour §, c, que l'une ou l'autre des quantités P 4- Q et P — Q sera généralement très petite.
On construira une Table numérique donnant la valeur de
(i4) - — Ao -I- Al cosÇ 4- A2COS2Ç + . . . .
Dans chaque calcul de r, à l'aide de la Table, on déterminera la valeur de l'argument r = /— cT, en affectant rar de ses inégalités séculaires, et /de ses inégalités à longues périodes. Ces inégalités de gt et / devront, bien entendu, être omises dans les formules (12). La variation séculaire de r proviendra uniquement de celle de e; on la calculera comme il suit :
dr . du e — cos u
-T- ^ — a cos u -+- ae sm ^< ^r— = « -^.— a cos ^v,
de oe ï — e cos u
d, rr= — «cos(r — cj)(5ie.
Si l'on attribue à S<e sa variation séculaire, on aura S,r= yt, y étant une fonction de ^ou bien de '(; on inscrira la valeur de y dans la Table qui représente l'expression (i4)' ^^ côté de la valeur de -• On réduira finalement en un
seul tous les termes périodiques de §, r dépendant d'un même argument gt -+- [3,et l'on construira, une fois pour toutes, un nombre de Tables numériques égal à celui des arguments gt + (3.
Remarque importante. — Les perturbations du premier ordre de la longitude et du rayon vecteur, calculées comme on vient de l'expliquer, contiendront des termes dépendant de l'anomalie moyenne 'C. Nous représenterons ces termes par Ssin^-h Tcos(^ pour la longitude, et par S,sin^ -f- T<cosC pour le rayon vecteur. Dans le mouvement elliptique, la longitude contient le terme C,sin^, et, de même, le rayon vecteur renferme le terme a A, cos^; on pourra donc écrire, en ne considérant dans ç^ et r que les termes en sinî^ et cos^,
(i5) t^ — . . . 4- (C, 4- S)sin(/ — ct) hTcos(/— C7) 4-, . . ,
(iG) r = ... S,siii(/ — cj) 4- (aAj 4- T, ) cos(/ — cj) +. . . .
On a, d'ailleurs,
C, ^= ie — 7 e^ + . . . ,
Cela posé, concevons que l'on remplace les constantes e et ct par e +Ae et G5 + AcT, les petites corrections Ae et Acr étant de l'ordre des masses perturbatrices m!, m!', . . . ; en faisant cette substitution dans les formules (id) et(i6), on pourra laisser invariables S, T, S, et T, (les variations de ces quantités donneraient des termes de l'ordre de m'-); on pourra de même négliger les produits tels que SAe, SAtar, . . . , et l'on prendra simplement
r/C, dky
de ' de
On trouvera ainsi
(17) i^=:. . . + (Ci + S 4- 2Ae)sin(/— gt) H- (T— 2eAn7)cos(/— cr) +
(18) r =. . . (Si— ae Agt) sin(/ — ct) + (rtAi4- Tj — « Ae) cos(/— gj) +. . .
Or on peut disposer des indéterminées Aé? et Aw de manière à avoir
S 4- 2 Ae -- o, T — 2 e AcT = o ;
d'où
Ae — --S, eA5T = +-T, 2 2
et les formules (17) et (18) deviendront
(19) t^=:. . .4- CiSinÇ + . . .,
(9,0) /• = ( aAi + T, + - aS j cosÇ + (Si— - «T j sinÇ +
On voit que, grâce à l'artifice employé, la longitude v ne contient pas de terme en cos'C, et qu'en outre le coefficient C, de sin'C est le même que dans le mouvement elliptique. Mais l'expression du rayon vecteur contient un terme en sin^, et un autre en cos'C; le coefticient de ce dernier n'est plus le même que dans le mouvement elliptique. Il faudrait encore remplacera et trr respectivement
par e — -SetcûTH dans les autres termes de v et r, qui dépendent de 2'C,
3^, ... ; mais ces termes contiennent e-, é\ . . ., et la modification qu'il y aurait lieu de leur apporter serait insensible. Enfin il n'y a pas lieu de faire la substitution en question dans les perturbations du premier ordre de r et v, car cela
reviendrait à tenir compte des carrés des masses perturbatrices. On se bornera donc à prendre dans v le même coefficient de sin^ que dans le mouvement elliptique, et l'on calculera, comme on vient de le dire, les coefficients de sin^ et cos(^ dans r; eetcr resteront des constantes dont la valeur sera fournie par les observations. Ainsi se trouve fixée d'une manière précise la signification des quantités e et cr qui n'étaient jusqu'ici que des constantes d'intégration, et dont les valeurs pouvaient dépendre des procédés de calcul employés.
144. Perturbations de la latitude héliocentrique. — La latitude héliocentrique s est donnée par la formule
(21) sin5 — sintp sin(^' — 9),
ou bien, en introduisant les quantités p = tangcp sin 6, ^ = tangç cos 0,
(22) sin^= coso (^ sinp — /?cosr).
Nous supposerons, conformément à l'usage généralement adopté, que la longitude (^ soit affectée de ses perturbations, quand on l'emploie dans la formule (21) au calcul de la latitude; les perturbations de s ne dépendront, d'après (22), que des perturbations de/>, q et 9, et l'on aura
^ cos© , > . ^ s . . -v
0i5 = ^ (di^ sinp — Oip cos v) — tang5tang9 c)i<p.
Si l'on a recours aux expressions de ^^p et ^^q, formules (o, ) du n° 140, il vient
2^ — __sin(('-D-T)
VH-K . , , , *'"^f . , I
+ 2^ — ^ — sin(r + D — -)+ -^— - sm5Ô,9 | - tang5tang9 ^,9
— > ■ sm((' — D— t)
cos
^^ 2à — 2~ sïn(»^ + 1> - '^) - tang5 tang ^ 0,9.
Le dernier terme de cette formule sera presque toujours insensible, et, dans
les deux premiers, on pourra le plus souvent réduire à l'unité le facteur — ^.
Il restera à mettre dans le second membre de la formule (23) pour {^ sa va-
