MV

2 aa-

.,,, I (?A('' I „^-^Af')

2 da 4 (J(^

2 da^

la signification de A^'^ et de B^'~'^ est la même que dans les formules (i5) du n** 119; on voit que Mj,",, et N'" restent les mêmes quand on change / en — i.

On pourra remarquer que, pour obtenir la formule (i), on a remplacé /par i — \, ou par ^ — 2, dans certains termes de la formule (87) du n*' 123, et A"' et A2' respectivement par

dk^i' I , d^AC')

a — r — et ~ a^ — r— r- •

oa 2 aa^

Soit Ro,, la fonction perturbatrice qui correspond à la planète P; d'après ce qui a été dit au n'^ 124, le développement de Rj,,, se déduira de celui de R,, en

remplaçant A(" et A^"" par A^*' - ^2' et B'") par B «> - ~

Il suffira de faire ce changement tout à fait à la fin, dans les expressions des perturbations des coordonnées.

146. Nous allons appliquer les formules du Chapitre XX aux divers termes du développement (i). Les expressions {d) du n" 135 pour (/, ç; et V contiennent le facteur •/], comme on s'en assure aisément; d'après les formules (/) du même numéro, il en sera de même pour §, ^ et sinçi5, 0. Si l'on néglige le second ordre, ces formules (/) deviendront

Jip = A, èiZ-= X -^ - e^,

eô.nr = J".

Les formules («) du n*' 135 combinées avec l'expression (i) de R< donneront, au degré de précision cherché,

A=- ^-'^a y--^^4^i— M[/,'p.e?e'P'sin[.-(^'-^)-+-P(^-«) + P'(^-tîT')], 2 y. .AJ (p + p' — fH-fV)^ ^^

p. Ad. p + p — i H- ï V da (4) (^^ 1^^ y ^ ^ Mk''VeP-'e'P'sin[i(^'-^) + (3(X-«)+[3'(A~tn')]

I 2fJL .^P + jS'— i + iV '" *■

f = -— « y -5 j-^. Mè'VeP-'e'P'cos[^-(^'->^)-HP(^-«) + [3'(X-ro')]

2 /JL .^ (3 -H p' — f + iV ' ''

+ i. !!l!iL e'y ^. p(Ocos[i(Z'-X)-h«-GT'].

2 |JL I V '^^ f L v / J

On a posé dans ces formules

On a maintenant, d'après la formule (i i) du n° 143,

-^— = ~ ecos(/ — co) 1- esin(/ — o)) (o,p +ài£) +- eô,e

— [cos()i — 0)) ôiC + sin(X — co)eâiGT] — e[cos(2X — 2 w) â,e + sin(2X — 2a))e5iCj]

ou bien, en tenant compte des relations (3),

l -i^ — ^ — [â'cos(X — (,))-h'f sin(X — «)] — -, e -^ cos(X — w) (5) ; rt a ^ ^ ' ^ ^' 4 «

( + e(A + ..l.)sin (X — co) + e^l'— e[y?cos(2A — 2f,)) -1- rf sin (2X — 2&))].

On aura ensuite, d'après la formule (3) du n*' 142, l'expression suivante, pour la perturbation de la longitude,

ô, (^ =ôip + ô,e 4- 2ecos(X — w)(ÔjP -+- ô,e) -4- 2[sin(X— co) ^^e — cos (X — ùj)e(3, cr]

H — e[ sin (2)1 — 2w) ôjC — cos(2X — 2w) e<5,cT]

362 CHAPITRE XXIT.

OU bien, en tenant compte des formules (3),

<5, r = A + 1.1. H- 2['A''sin(À — «) — Jcos(A — w)] e — sin(A— w)

+ 2e(A + cl.)cos(A— w) + - e^+ - e[':i' sin(2X — 2co) — .f cos(2X— 2w)].

147. Il n'y a plus qu'à remplacer, dans les formules (5) et (5'), 4^, A, JU, §, f par leurs expressions (4)- On donnera à ^ et ^' les valeurs o, 1,2, en ne retenant que les termes du premier ordre; on aura à effectuer des transformations très simples par des relations telles que

cos(X-w)2Q"'^cosi(^'->^)=^ \ ^W^ +Q(-')]cos[/(/'-X)-hÀ-w],

qui se simplifieront encore sil'ona Q^'^ = Q-'^ ou Q'~'' — — Q''^ Dans le calcul des quantités

y?cos(X — w) 4- ^sin(X— w), 9?sin(X — (ù) — .fcos(>. — w),

les deux termes multipliés par Mp|p. se réduiront en un seul ayant pour argument

i(/' — X)4-([3-i)(X-co) + i3'(X-CT');

les deux termes multipliés par P^'^ se réduiront aussi à un seul argument

i{l' — l) +X — ro'; il y aura des réductions analogues pour les quantités

y?cos(2>, — 2(o) 4- .f sin (2>. — 2 w), <JPsin(2A — 20)) -- icos(2?i — aco).

On trouvera ainsi les expressions suivantes dont nous donnons le détail pour guider le lecteur :

7^7, 2 M'o% COS. •(/'->,)

-^ 7 ""'' H r-^rhr^ ^«' > ^°' t'"^^' ~ ^^ "'" ^ - ^'^

(lo')

-rsini (/'-}.)

^ ^d |2(i — i 4- ïv) "'* (}a J I — f + fv ■- ^ ' J

[^rcos(A — w) -j-#sin(>; — w)]

— — ae F-

2 ]JL .AiJl f(l— v) 2 — f+iV *''J L V / J»

2 [ ^r sin ( X — w ) — .f cos ( >. — 0) )]

"'' y ■ \ ^ Wl\ sin i{l'-l)

V [v ' N N''' :'^ M'/'ol sin [f (^' - X) + >. - co]

.^Li(i — v) 2 — iH-iV ^'"J L V / J

-' «^' s [-r-* — -X P'" ^ — - MV\1 sin[i(/'-X) -h>. -CT'],

^ cos(>. - co) =- 7 — -— e y M';' cos[i(^' -?■) + >■ - w],

e '^ sin(>. - oj) = - - — — — e V M'"„ sin [/(/'->.) 1- ). - o)!.

e(A + -X) sin(}. — m)

2 e ( A 4- Ao ) COS ( ?. — C) )

eq: ^ 1 ^l! «e y L^ M[%cos[i{l' -l) -h 7 - col,

-- e i -- 7 — ae y ^ ^ M''\, sin [« ( ^' — X) 4- X - w]

— e[(Jtcos{2'k — 200) +#sin(2>i — 2w)]

' — aeV 1 r-M'/'oCOs[/(/'-}.)-(>^-w)]

aeV 1 — ^M'-i'cos[/(/'-X) + (X-co)]

e [ y? sin ( 2 À — 2 (0 ) — # cos ( 2 A — 2 co )]

(II'

- 7 — «e y 1 r- M'/'o sin[/(/'- l) - (X- w)]

On n'aura plus maintenant qu'à faire les sommes et l'on trouvera sans peine

m;/,'o - ,,. ;, .-^.^ M'/.'„J cosi(^'- X)

2(1 — /h- iv)

--2|-î(T^)[-7(r^]Mi'.'.

i{i — y ) da

I — f H- fv "" 2(1 + f — « I , . , ., I

.^ |i — < + fv "•'

2 — l -h IV

N('M cos [i(/'->0 +>•-«]

-^ r PC) 1 COS [/(/'->.)+>> -^'] •

Oj ^'

2(2 — f'+fv)

^ ''''^1 i-v[i('-v) 2j^^^«'« ^/(i-y)"" <^a + 77 ^; r- fi + 6 '~' ■ ) M'/'o

I — f H- i V da 4 ( I + ' — i V )

- ? — ^ M'/'o 4- T--^ N") ! sin[i(^->0 + X- w]

2— f-t-fv ' f(i — y) )

""^ ZiL2(i-/+fy)^^«''' i, + ,v''

1 ^ M'/\ + T— ^— Pf'^ 1 sin [/(/'-}.) +X-ro'].

2 — i -\- IV *'' f(i — y) J

148. Il faut maintenant remplacer, dans les formules («) et (a), M[/'o,M',"„, ...,P''> par leurs valeurs (2).

Il convient de poser

(12) ^ i—iv = Zi,

et de mettre partout - — r^ au lieu de v. L'expression de -^ prendra la forme

(5, /■ 1 /«' v* /^ W If ■> N

-^— = - > LiCOSl(l'—A)

— e'^EiCOs[iil'-l)-}-l-ny']; un calcul assez long, mais qui ne présente aucune difficulté, donne

(>/=:: — -. r aA^'M a^ —\ — >

* Zi{\ — z^i){Q. — Zi) ôa 2Zi{2-~Zi) Oa-

Zi{l—Zi){2 — Zi)

izi-i , f)A('-») I ,, ^^A''-')

Zi{i — zi){2 — Zi) da 2Zi{2—Zi) da-

On peut, si l'on veut, changer, dans C<, / en — i, par suite s, en — z^, et remplacer C/ par ^(C/ H- C/) ; on trouve ainsi

2faA(') H- ^/a^ — j — (c.) C.= - ^"

5,(1-5?) L'expression (a') de §,(^ prendra de même la forme

^i*'~ :: ^ 2 F«sinf(^'->-;

2 TT (//) { -f- — e y G,sin[/(r->.) + X-co]

366 CHAPITRE XXlI.

et le calcul direct donnera

, , ^•x;f4-3(t-2)3?+2(f- + 6)^, — 12 ^ aA<^ I 3 J^A(')

^ ' '2Zi{i—ZiY{'2 — Zi)

'2Zi{i—ZiY{i — Zi) âa Zi{i^Zi){2 — Zi) dà"

On peut, si l'on veut, changer, dans F,, i en — i, et remplacer F/ par ^(F, — F/); on trouve ainsi

f(s? + 3)aA('^4-2^,-a5

Zj (i — z])

149. Les formules (a) et (a') sont en défaut lorsque i — o, car certains termes contiennent «en dénominateur.

Il y a lieu de reprendre la formule (i), d'y faire i = o et de considérer à part les termes correspondants; on trouve ainsi

4- -2] M;r:r,;i.e?e'P'cos[|3(>.-a)) + (3'(X -ro')]4- - rj^ B") cos (2). - 2t') ;

fl et fl' ne devront pas être nuls simultanément, puisqu'il en résulterait une partie constante dans RJ, et que cette partie constante a été mise en évidence et désignée par ^A^^K

On tire des formules (a) du n° 134, en y remplaçant Ro,, par l'expression (12),

'^ = — aM',»' ecos(X - w) + — aM'"', e' cos(X - gt'),

A =-- ^aM'<"oesin(>.-a))-- — aM'°' e'sin(), - w'), 2 jx ''" 2 p. "'' ^ ^

A — a^ —^ — ni a* ——■ e sin(A - w) «'' /•' e'sin(A — w')

[j. aa IX aa ' \j. da ^ '

i —"— laW^e-^- - aP(o)e'cos(w — gt') nt • ^ L 2 J

2 |jt.

- « 2 p4^ ^^fô' ^^-'^'^'C0S[[3(X - r^) + [3'(X - HT')].

Il n'y a plus qu'à substituer ces valeurs dans les formules (5) et (f/); voici les principaux détails du calcul :

[(ecos(A-co)-t-^sin(X--c.j)]=— — r«N('>)esin(>> - w) + ^ aPto e'sin(>, — tu') 1 nt

i ^ r « M'i^'o + aM^«'o ecos (>, - w) + - aU\^\ e' cos (>. - nr' )] , 2 ^ L ' ' 2 I

[Çsin(>. — co) — .f cos(>i — w)]^— 2 — raN«"ecos(X — w)-H ^ aP(«>e'cos(X— ra') 1 «f

^ r«M'2",i,esin(X-a)) + ^ aM'i«>'sin(>.-cj')l»

7z e — cos (A — w) =0,

- e — sin(X — co) = o, 2 a

m' dk'-^i

e(AH- -t) sin(>i— co) = — — nta- — r — e sin(X — w),

2 e (A -H 4.>)cos(>^— &)) — — 2 — nta- — r — ecos(>> — w),

ecj?= l 'Hl «M'"' ecos(X-o)), \ ei =i\~ aMVoesin(X — co),

— e[^cos(2>. — 2w)-f-rfsin(2A — 2co)]=r aM',"'„ecos(X — w).

- e['rsin(2>. — 2w) — Jcos(2>. — 200)] = -(- - — aM'",'oesin(X — w).

trouve

finalement

t (aW^ + a^

da )

esin(>i —

èiV =

2 J 2 |Jt. *'"

m' ^A^o) m' r/ rîAto-^X I 1

-- a'-^^ nt-2 — nt\ ( aN^oJ^ «^i^ ) ecos(X-«) + - «P(o)e'cos(A- cr') IX da f^ L\ aa / 2 J

- — ( «- -^ + «M'/,U esin(X - co)

— ( ^ aM;,Vi + «' — ^^ + ^ « M'i«\ j e' sin (>. - gt' ] •

Si l'on remplace N^"^ P'"\ M'"),, • • • par leurs valeurs tirées des formules (2), on trouve aisément

-^ = nt

3 a- —- 1 — a^ — - — e sin ( A — co)

\ aa 2 aa^ /

aA(') — a} —z a^ — -— ,- e'sm(A — rs')

da 2 Oa^ J J

I m' „ ()A(»^ I m'/o .^A^") i , aU«»

2 /x aa 4 P'

<)« 2 da^

j ecos(X — oj)

fjL da

— 7 — 3aA")— 3a^ — ^ a' — c— r- e'cos(A — gj'),

4 fJi \ da 2 da^ /

, m' r/„ ,dA(«' I , d^Af°)\ .^

«/ nt\\5a' —^ \ — a* — v~?— ^ cos (A — w )

^ L\ da 2 da^ /

/ AH) 2^A"^ ' ^d^'AoX , ,,

3 m'/ ,dA(o) I , d^AO'X . ,,

H a* — i 1 — a' ■■ ., esin(A — w)

2 jjL \ da 2 da^ /

e'sin(A — gj').

2aA<'^ — ia^ -^ -;- a' — ^r—r-

oa 4 àa''

150. On a expliqué dans le Chapitre précédent comment on peut faire disparaître de S, V les termes en sinX et cosX, pour les reporter uniquement sur §, r\ nous allons opérer ce changement. Soient c, etc^ les coefficients de ecos(X — co)

ete'cos(X — cT')dans -^» s^ et^'j les coefficients de esin(X— w) ete'sin(X — m') dans ô, v. Si nous changeons <? et cr en e -t- Ae, et ro -+- Acr, -^ et S, ç^ deviendront

.c,ecos(A — co) 4- c'ie'cos(?i — gj') — Aecos(A — w) — eAnTsin(A — «) + ...,

ôjt'^: ...5, esin(A— w) -+- s\e' sin (A — cr') -i- 2Aesin(A — w)— 2eAnTC0s(A — co)

Si l'on égale à zéro les coefficients de sinX et de cosX dans S, v, on a deux équations d'où l'on tire aisément

\ Ae =r [^lÉT + 5', e'cos(w — w')],

eAcj= -5^e'sin(oL) — nr');

en reportant ces valeurs de Ae et eAcr dans la formule (i4)' il vient, après réduction,

.4- (ci+ - 5i j ecos(>. — co) -h (c'i -h -^'i ] e'cos(/ — cr') +. On trouve d'ailleurs

c, H- - 5, = 7 — aAC) — «2 — .: — • — a' — v-^- 2 ' 4 p^ \ da da-

Il convient de poser

/ . 2 , <?A(«) I , d^kw

-/'=^ (^aA(')

âa"

t/a 2 aa^

D =aA(»)

da 2 da^ '

alors, si l'on tient compte des changements réalisés par l'introduction des valeurs (i5) de Ae et e Acr, les formules (i3) et (i3') donneront

a 2 IX da 2 IX

( C — 2a^ —^ — ) V da J

2a' —^ — ]ntesin{l — (ji) H D/i/e'sin(Â — gj )

— ~[f-^ î"^ -^^ j ecos{l - (^) - -- f e' cos{l - m');

IX da IX \ da

( C — 2a'— j — 1 ntecos{l — cù)-\ D nte' cos{l—rs').

Ces valeurs de ^- et S,f devront être ajoutées aux valeurs (b) et (6') trouvées

plus haut.

Les expressions elliptiques de r et (^ sont d'ailleurs

(17) - = i — ecos(A — w) +. . . ,

(17') V =z nt -h e -\- 2esin{l — (o)+....

11 convient de poser, comme on l'a déjà fait au n** 141,

On calculera a, par la formule

nia] = n^a^, ce qui donnera

Désignons par >., ce que devient X quand on y change n en /i, ; nous aurons

cos(>. — w) = cos[>.,— w + (/i— «i)^] = cos(>.i — w) — (/* — rti)^sin(Ai — co), sin(>i — w) ■= sin[Xi— co + (« — «1)^] = sin(X, — w) -h (/i — «i)^cos(Ai — w),

ou bien, en vertu de la relation (18),

m' <?A^<" COS(X — w) =:COs(>ii— (o) a^ -^ — nt sin(>i— w),

sin (>; — 0))= sin (X,— w) h «^ ^^ — ntcosili— w).

Si l'on effectue les substitutions (18) et (20) dans les formules (17) et (17')' on trouve

r ,. , 2 //i' , ^A^o) 2 m' „ JA^o) ,- ,

— = I — ecos(A. — u))— TT — a^ — ; 1- ^ — a- — ^ — ecos(Ai — • oj)

«1 ^ ' 3 /JL ()a 3 ]ji da

H a^ —:: — ntesiniA, — w) + . . . .

r:= «1 / 4- 2 + 2 e Sin (A, — &)) H cr — r — nt

y. oa

2 m' , dAC» ,^

H a^ — s — f^t^ COS(Ai — w ) -h . . . .

fj. ôa

Les trois derniers termes de l'expression (21) se réduisent avec des termes correspondants de la formule (16); il y a des réductions analogues pour v et

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 3']l

BiV et, finalement, on peut prendre, en supprimant les indices de /z,, «2, etX,,

-i- = «^ — ^; 1 Cntesm(A — w) h D rite' sin(l — rrs')

a <o ix aa 1 u. 2 u

/ecos(X — co) f'e' 005(1 — cr') ;

(/') § i^— — Cntecos(l—M) H Bnte' cosll — m') .

Les expressions de -^ et de <5,ç' qui résultent des formules {b) et (/) d'une

part, {b') et (/') d'autre part, sont, comme on s'en assure aisément, identiques à celles que Laplace a trouvées par une autre méthode dans le n*^ 50 du Livre II de la Mécanique céleste, si l'on a égard à ce que Laplace représente par — A^'^ ce que nous avons désigné par + A^'^ Nous aurions dû, pour nous conformer à l'usage adopté aujourd'hui et d'après ce que nous avons dit au n** 142, ne pas faire sortir des signes sinus et cosinus dans les expressions de §, r et §, v les inégalités séculaires de cr; nous l'avons fait cependant, mais uniquement pour retrouver les formules de Laplace.

151. II reste enfin à tenir compte de la seconde partie, Rq,, — R,, de la fonction perturbatrice. Il suffira, comme nous l'avons dit, de remplacer A<*' par

A^'^ ji' Nous pourrions nous en tenir à cette indication; mais, la connaissance des perturbations de r et ^^ provenant de la seconde partie de la fonction perturbatrice peut être utile dans certaines recherches, et nous allons faire connaître les expressions de ces perturbations.

Il faut, en somme, diminuer aA^*' de -r^» et a^ —5 — aussi de -77: a^ ^ , res-

a'^ da a'- da^

tera le même.

Il n'y a donc qu'à chercher dans les expressions {b) et (6'), (/) et (/') les

parties qui contiennent A^'^ ou A'~'^ ; on trouve ainsi sans peine, pour — >

I tu/ nz' ni'

(Cl 4- C,)cos (/'—>.) 4- — Diecosf/' — w) -\ D iecos(— /' + 2X — w)

2/Jl^ ' [). ^ ^ '

H Eîe'cos(2/'-X-cT')-— /'e'cos(X — ct'),

et pour ô,r,

- — (F,--F,)sin(r-X) + — G,esin(/'-w)

2 jJL [J. '

m' îii' -\ G, esin(— /'-h 2>i — oj) H H2e'sin(2/' — X — cj'),

Si Ton remplace/' par son expression {d), et G,, C,, D,, ... par leurs expressions (c'), et qu'on fasse en même temps la modification indiquée, on trouve

cos ( /' — A ) M — — r^- — e cos ( r — (o)

{g) { 4- -7 r^T ,.3 -' ecos(— r+ 2A — 00)

e'cos(2/' — \ — 57') ;

m' a^ ï y* — ^v + 6 . , ,, ^, y^— Sy^— y — o . ^ „ ^

|jL a ^ L '-'(' — "n \^ — '■') 2y(i — y)-(i-hy)(2 — y)

, „ , 3 y*-9y'+33y2— 5iy + 3o . , „ .

1 Vi ^ e'sin(2Z — A — gt') .

V désigne toujours dans ces formules le rapport — •

En résumé, les valeurs complètes de -^ <èi^^v seront données :

1° Par les formules (^) et (//) dans lesquelles on donne à i toutes les valeurs entières positives et négatives, excepté zéro; 2° Par les formules (/) et (/); 3° Par les formules (^) et {^g')- On devra ajouter l'expression de o, r à la valeur elliptique

a I H — e^ — ecos(^ — ûj) e'cos(2>v — 2co) 1 . . . ,

et de même celle de S, v à la valeur elliptique

/-H 2esin(X — w) 4- 7 e^sin(2X — 2w) -I- . . . .

152. Nous dirons, pour terminer, quelques mots sur le calcul des perturbations de la latitude s, toujours avec la même précision.

On a

sin5 = sin9 sin(t- — 0);

d'où, en supposant v affecté de ses perturbations, et remplaçant par l'unité les

ôj,ç=: sin((' — 0) <5| 9 — cos((' — 9)sin95i9

facteurs — ^~ et — ^>

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. SyS

OU bien, en vertu des formules (2) du 11° 138,

(23) ôi5 = (S + V)sin(r — -) — gcos(r4-T).

Or, quand on remplace Ro,, par l'expression (i) dans les trois dernières formules (a) du n° 134, on trouve

G = i ^ sin - J y S ] r- aB('->) cos[/(/'- A) + aX - 2t'] + - aB^»' cosfaX - 2z')\,

V=:i— sin-J y —!—.a\i')cosi{l'-l),

2 IX 2 Jmà V — I

(^^) \ (?^i^sin-JaB(^)/^^^-- — sin- jI '— y 4 aB^'-') sin/(^'~ X)

1'' 2 \t. 2 2 IX 2 { V — I ^^ l

+ y \ — r-aB('-i)sin [«■(/'- A) + 2X-2t'1

Jmà 2 — l->r IM \. \ I J

H- -aB(*)sin(2X — 2t') |.

Dans ces formules (24), «prend toutes les valeurs entières, excepté zéro. Il n'y aura qu'à porter dans la formule (23) les valeurs précédentes de c^ + V et Ç; on devra remplacer A'*' et B'"' respectivement par

Ad) ^, B«»— — .

La découverte de Neptune a marqué une époque remarquable dans la théorie de la gravitation, à laquelle elle a apporté une confirmation éclatante. Aussi croyons-nous devoir lui consacrer un Chapitre spécial, qui trouve ici sa place naturelle, car cette découverte prend sa source dans les formules du Chapitre précédent.

153. Le i3 mars 1781, W. Herschel rencontrait accidentellement la planète Uranus dont le disque sensible avait attiré son attention.

Quand l'orbite de cette planète fut connue approximativement, on constata qu'avant sa découverte elle avait été observée vingt fois comme étoile fixe de 6^ grandeur, depuis 1690 jusqu'à 1771, par Flamsteed, Bradley, Mayer et Lemonnier. Vers 1820, Bouvard entreprit la théorie de cette planète, en prenant pour point de départ les expressions analytiques que Laplace avait données quelque temps auparavant dans le tome III de la Mécanique céleste, pour les perturbations d'Uranus causées par Jupiter et Saturne.

Bouvard disposait donc de quarante années d'observations régulières modernes (de 1781 à 1820), et de vingt observations anciennes, échelonnées entre 1690 et 1771. Ces dernières étaient évidemment inférieures aux premières en précision ; cependant elles rachetaient cet inconvénient en raison de la grande extension qu'elles donnaient à l'arc observé de l'orbite d'Uranus.

Bouvard construisit ainsi les Tables d'Uranus dont les astronomes se sont servis pendant un quart de siècle; mais il ne put pas les établir d'une façon satisfaisante : il lui fut impossible en effet de représenter à la fois par les mêmes formules les anciennes observations et les modernes. N'arrivant pas à concilier les deux systèmes, Bouvard prit le parti de rejeter entièrement les observations

anciennes, et il fonda ses Tables uniquement sur les quarante années d'observations méridiennes :

« Laissant, dit-M, aux temps à venir le soin de faire connaître si la difficulté de concilier les deux systèmes tient réellement à l'inexactitude des observations anciennes, ou si elle dépend de quelque action étrangère et inaperçue, qui aurait agi sur la planète. «

II ne fut pas nécessaire d'attendre longtemps pour prononcer; dans l'espace d'un petit nombre d'années, des erreurs sensibles se manifestèrent, dont la valeur augmenta graduellement, si bien que, vers i845, la longitude d'Uranus calculée par les Tables de Bouvard différait d'environ 2' de la longitude observée. Les Tables qui ne représentaient pas les observations anciennes étaient donc également impuissantes à représenter l'ensemble des observations modernes. Il devenait probable que la planète Uranus avait été soumise à quelque action <( étrangère et inaperçue w.

La question de l'irrégularité des mouvements d'Uranus se trouva ainsi mise à l'ordre du jour. Dans le courant de l'été de i845, Arago la signala d'une manière pressante à Le Verrier, qui, dans ses premiers travaux, venait de révéler un talent de premier ordre. C'est vers cette époque que Bessel écrivait à de Humboldt :

« Je pense qu'un moment viendra où la solution du mystère d'Uranus sera peut-être bien fournie par une nouvelle planète, dont les éléments seraient reconnus par son action sur Uranus et vérifiés par celle qu'elle exerce sur Saturne. »

154. Le Verrier se mit à l'œuvre; redoutant quelques inexactitudes dans les calculs de Bouvard, il entreprit d'abord de démontrer d'une manière indiscutable que l'ensemble des observations méridiennes d'Uranus ne pouvait être représenté par une ellipse dont les éléments varieraient en vertu des seules actions perturbatrices de Jupiter et de Saturne.

Les erreurs de la latitude tabulaire d'Uranus pouvaient être annulées à très peu près par des changements dans l'inclinaison de l'orbite et dans la longitude du nœud, assez faibles pour n'avoir aucune influence sur la longitude d'Uranus.

Soient donc /2, i, e et rs les quatre autres éléments elliptiques adoptés pour Uranus, v la longitude calculée avec ces éléments pour l'époque t ; si leurs valeurs exactes sont représentées par n -+- An, £ H- At, e -h Ae, gj -t- Aw, la longitude elliptique, calculée exactement, sera

dv j, dv ■ âv . <)v .

t» -h ^- An 4- -j- Ae + -5- A<? -j- -r— Agt: an as de duy

les coefficients -3-, ^' X' J~ ^^"^ ^^^ fonctions connues de t et de n, £, e, w.

Soit <i la perturbation en longitude causée par Jupiter et Saturne ; désignons par ('0 la longitude déduite des observations pour l'époque t. On devrait avoir

(1) (-• + y; -f- -v- A/i -H 3- As 4- -Y- ^e + -.p- AcT — i\= Vc— ^'0=0;

an as de ans

autant d'observations, autant d'équations de cette forme, contenant au premier degré les quatre inconnues An, As, Ae, Agt.

Le Verrier avait repris avec un soin méticuleux le calcul des perturbations de la longitude causées par Jupiter et Saturne, de sorte qu'il était bien certain des valeurs des quantités ^S. Il eut un total de 209 équations telles que (i), fournies chacune par une observation méridienne faite entre 1781 et i845.

Il groupa les équations voisines, 10 par 10, à peu près, de façon à n'avoir que 26 équations normales, correspondant à un nombre égal d'observations idéales beaucoup plus précises qu'une observation isolée.

En combinant convenablement ces équations, il obtint des valeurs plausibles des inconnues qui, substituées dans les équations individuelles, donnèrent les résidus suivants, valeurs dei\ — ^'^ :

Tableau (A).

•Hr 6,0

On voit que la représentation s'est améliorée; au lieu de 2', le plus grand écart n'est que de 20", 5.

Mais les résidus n'en sont pas moins inadmissibles, par leur grandeur et par leur allure systématique, surtout quand on se rappelle que chacun des nombres Vo est la moyenne de dix observations méridiennes très précises.

155. Aussi Le Verrier, plein de confiance dans l'exactitude de la loi de Newton, aborda résolument l'hypothèse d'une planète encore ignorée, et chercha si les perturbations produites par cette planète permettraient d'expliquer les irrégularités du mouvement d'Uranus. Soit P la perturbation correspondante de

la longitude d'Uranus à l'époque t-, dans chacune des équations (i), 5" devra être remplacé par ^ + P.

Il y avait lieu d'apporter quelques simplifications au problème.

Tout d'abord, on sait que les orbites de Mars, Jupiter, Saturne et Uranusfont avec le plan de l'écliptique des angles petits, inférieurs à 2°3o'; il était donc naturel d'admettre que la planète inconnue se mouvait à fort peu près dans le plan de l'écliptique, supposition d'autant plus plausible que, comme nous l'avons déjà dit, les latitudes d'Uranus peuvent être représentées presque exactement, en tenant compte seulement des actions de Jupiter et de Saturne.

En second lieu, la planète inconnue ne peut pas être supposée placée entre Saturne et Uranus, car elle produirait dans les mouvements de Saturne des dérangements qui n'auraient pas passé inaperçus. Il faut donc qu'elle soit au delà d'Uranus. Ici, la loi de Bode, malgré son caractère empirique, va jouer un rôle important; elle indique que la nouvelle planète doit être à une distance moyenne du Soleil double de celle d'Uranus. Le Verrier s'est donc ainsi trouvé conduit à poser la question en ces termes :

« Est-il possible que les inégalités d'Uranus soient dues à l'action d'une planète située dans l'écliptique, à une distance moyenne double de celle d'Uranus ? Et, s'il en est ainsi, où est actuellement située cette planète? Quelle est sa masse? Quels sont les éléments de l'orbite qu'elle parcourt? »

Soient a! , n'y e' , i , m' les éléments de la planète inconnue; on aura

ai n' I a

Les excentricités des orbites de Jupiter, Saturne et Uranus sont voisines de 0,06, donc petites; il est naturel de supposer qu'il en sera de même de é . Dans ces conditions, on pourra calculer la perturbation P de la longitude d'Uranus par les formules du Chapitre précédent, qui laissent de côté les quantités du second ordre par rapport à e et e' .

Pour l'intervalle de i5:) ans, compris entre 1690 et iS/p, les inégalités séculaires de V données par la formule (/') du n*^ 150 sont négligeables, comme on s'en assure aisément.

156. La formule (/>') du n" 148 donnera donc pour la perturbation P, {:'\\ remplaçant \k par l'unité et remarquant qu'on a ici t' = t, X = /, w = rar,

[V~\ m' 2] F,sin/(/'— /)

(3) I -Hm'e^ G, sin [/(/'-/) -h/- ct]

I 4,„'c/2]H/sin[/(/'-/) f-/— ct'].

Les valeurs des coefficients F/, G^, H, seront calculées par les formules (<?') du n** 148 ; elles dépendent de

Zi^= l — IV =z l I I —

quantité connue, et de aA^'\ a- —5 — et a^ . ^ • Or on a, avec les notations du Chapitre XVII,

aA('^=5c6('),

a étant supposé connu, on pourra calculer ces quantités. On tiendra compte

de la seconde partie Ro,i — R| ^e la fonction perturbatrice en remplaçant clW^

dU""^ et a^ —7— respectivement par

dv.

Donc, dans la formule (3), les coefficients F,, G, et H, peuvent être supposés connus. En faisant ce calcul, on trouve que F/ est petit par rapport à F, quand la valeur absolue de l surpasse 3; on voit aussi que les seules valeurs à conserver pour G/ et H, sont Gi, Go, G3 et H,, Ho, II3.

On remplacera / par ni -1- £, /' par /i7 + £', et l'on fera

e'sinGj'= /'', e'cosnî'=r: A'; L= - (F, — F,)sin[(n' — /O « + £'— s]

+ - (F2 — F 2 ) sin [( 2 n —in)t-^').t'—i s]

H 1 (F3— F 3)sin[(3/<'-3/0^+3£'-3£]

H- eGiSin(n'^ ■+- £'— c^)