eG2Sin [(2/i' — /j)^ -f- 22'— s — cr

+ eG3sin[(3/i'— 2n)/ + Ss'— 25 — cr],

H — — H,cos(/i'f + c')

— H2 cos [( 2 11 — n)t-^iz' — s]

— Il3COs[(3/<'-- 2//)^ -h 3e'— 2£],

H,sin(/i'^ H- £')

-\- H2Sin[(2rt'— n)t -f- 2£'— £] 4- H3sin[(3/i'— in)l + 3e'— 2£],

La formule (3) pourra s'écrire ainsi (7) P^Lm'+Hm'A'+Km'A';

e, n et z sont connus; il en est de même de

£' est inconnu; c'est la longitude moyenne de la planète au i*'' janvier 1800. Les formules (4), (5) et (6) montrent que L, H et K sont de la forme

cJ\»iCOS£'+ ol)2COS2£'-t- XsCOsSe' + \)'oi sins'H- il'oa sin2e' + \lî)3 sinSe',

OÙ Xi, ^2* -^^3» ^'''1» i''>2» ^''3 peuvent être considérés comme connus. Si l'on porte la valeur (7) de P dans l'équation (i), on trouvera

(a) -^ A/i 4- -r- As + -r;- Ae + ^r— AcT + Uni' h' -\- Km'k' -{- Lm'+ ç ■+■ ^ — (^0= odn as de dm

On aura autant d'équations de cette forme qu'il y a d'observations; Le Verrier, par des moyennes, a réduit ces équations à dix-huit, qui correspondent aux époques suivantes : 1690,98; 1712,25; i7i5,23; 1747,7; 1754,7; 1761,7;

1768,7; 1775,7; 1782,7; 1789,7; 1796,7; 1803,7; i8io»7; 1817,7; 1824,7;

157. Le problème dépend donc de dix-huit équations à huit inconnues, An, As, Ae, AcT, m' h', m'k', m' et i' ; les sept premières figurent linéairement dans les équations de condition (a); la huitième entre dans ces équations sous forme

transcendante t^2lV (s', 2e', 3e').

Si les observations étaient rigoureusement exactes, il suffirait de prendre sept des équations {a), d'en tirer, par des éliminations successives, les valeurs des sept inconnues A/z, ..., rrî qui n'y entrent qu'au premier degré, et de porter ces valeurs dans l'une des autres relations (a), qui deviendrait ainsi une équation transcendante ne contenant plus que l'inconnue £'.

Mais les observations anciennes sont peu précises; les différences ^ -h <jt' ~ v\, sont en somme assez petites, et il arrive qu'après avoir éliminé six des inconnues il reste pour la septième m' une équation de la forme

(8) Dm'-N = o,

( ' ) Ces époques sont équidistanles, sauf les trois premières, et il est possible de profiler de collo circonstance pour abréger les calculs.

38o CHAPITRE XXllI.

dans laquelle les quantités D et N sont très fortement affectées par les erreurs des observations, d'autant plus que les coefficients qui figurent dans D et N sont très petits par rapport à ceux qui entraient dans les équations primitives, de sorte que le moindre changement apporté dans les données fait varier m' dans des proportions extraordinaires.

Le Verrier avait obtenu cette équation (8) et, en écrivant que m! doit être essentiellement positif, il espérait limiter les intervalles dans lesquels il fallait chercher la vraie valeur de € . 11 avait posé

s' lang - =r X,

ce qui lui avait permis d'exprimer N et D algébriquement en x\ il était

arrivé à

(i+a^=')2Nr=N„ (i + ^^)SD=Di,

N, et D, étant des polynômes en x de degrés 4 et lo.

Mettant à profit le théorème de Sturm, Le Verrier avait vu que les racines de l'équation N< = o étaient toutes imaginaires, tandis que l'équation D, = o avait quatre racines réelles. Il était ainsi amené à conclure que t' devait être compris entre 96*^40' et iBg^SS', ou entre 263*^8' et 358"4i'- Or, quand il attribuait à e' des valeurs comprises entre ces limites, et qu'il les substituait dans l'ensemble des équations (a), il n'obtenait jamais une représentation satisfaisante; de sorte que la vraie valeur de s' transportée dans l'équation (8) devait conduire pour m' à une valeur négative.

« J'avouerai sans peine, dit-il, que c'est ce qui m'est d'abord arrivé: longtemps j'ai été arrêté dans mes recherches par cette difficulté. Aussi croirai-je faire une chose utile en insistant encore sur cette partie de la question; elle est très propre à montrer par ses détails combien sont délicats certains points des recherches numériques; combien il est souvent plus pénible d'arriver à une connaissance rigoureuse de la vérité en raisonnant sur des nombres entachés des erreurs d'observations, qu'en discutant des symboles algébriques susceptibles de représenter les données de la question avec une exactitude absolue, et de se prêter à toutes les restrictions. »

Il fallait donc opérer autrement, en ayant égard à toutes les observations. Voici la méthode employée :

Le Verrier considère les quatre équations (6) du type (a) qui correspondent aux années lyiS, 1775, 1810 et i845; il représente par /? et ^r les erreurs commises dans les anciennes observations de 1713 et 1775; il suppose nulles les erreurs en 1810 et i845, puisque dans chaque cas on a une moyenne d'un assez grand nombre de bonnes observations méridiennes. Les premiers membres des deux premières équations (6) devront donc être augmentés de/? et q respective-

ment. On tirera des quatre équations (b) les valeurs des quatre inconnues A/^, As, Ae, A® pour les substituer dans les autres relations (a); cela donnera des équations (c) dont les premiers membres seront des fonctions linéaires àep, q m' h', m'k' et m' . Le Verrier fait les moyennes des équations (c) qui répondent, d'une part, aux années 1817, 1824, i83i et i838; d'autre part, aux années 1782, 1 789, 1 796 et 1801 , et il en tire les valeurs des inconnues m' h' et m' k'.

11 connaît donc les six premières inconnues en fonction des deux dernières, s' et m\ et des erreurs/) et q de 1715 et de 1775. On peut voir qu'on a utilisé des observations de sept en sept ans, à partir de 1775 jusqu'en i845; de sorte que toutes les observations comprises dans cet intervalle de soixante-dix ans seront représentées presque exactement quelles que soient les valeurs de e', m'y petq. Mais on n'en peut pas dire autant des observations de 1690 et 1747; c'est en essayant de représenter ces observations qu'on pourra déterminer £'.

On substituera donc les valeurs des six premières inconnues dans les équations (c) qui répondent à 1690 et 1747» et l'on aura des résidus de la forme

Le Verrier a effectué tous les calculs qui viennent d'être indiqués pour quarante valeurs équidistantes de e', entre o^ et 36o*^. Voici les résidus (9) pour quelques-unes des valeurs de s' :

Tableau (B).

Erreur de la théorie en 1690.

8y>n'- 8 m'- 48 m'- ^i.m'i8m'- Syni'-

0,1/5 — i,5r/ 0,2/) — 1,67 o,3p — 1 ,5</ o,5p— i,5q o,6p — -2^oq