CHAPITRE II. — GENERALITES SUR L ATTRACTION

GÉNÉRALITÉS SUR L'ATTRACTION. — ATTRACTION DES COUCHES SPHÉRIQUES. ATTRACTION D'UN CORPS SUR UN POINT ÉLOIGNÉ.

8. Newton a donné à sa loi une généralité que n'exigeaient pas les lois de Kepler. Il en résulte que les planètes ne peuvent plus se mouvoir dans des ellipses, obligées qu'elles sont d'obéir, non seulement à l'attraction du Soleil, mais encore aux attractions des autres planètes, c'est-à-dire à des forces nombreuses, complexes et variables à chaque instant. Les lois de Kepler cesseront donc d'être vérifiées rigoureusement; elles ne représenteront plus qu'une première approximation des mouvements.

Il faut maintenant prendre la loi de Newton comme point de départ et en déduire par l'Analyse les mouvements des corps célestes; on aura ensuite à comparer les résultats du calcul à ceux de l'observation.

Nous ferons une première simplification en nous bornant à considérer seulement les corps qui composent notre système planétaire, et laissant de côté les étoiles. Les distances des étoiles au Soleil sont très grandes par rapport aux dimensions du système solaire; ainsi l'étoile la plus rapprochée est environ 7000 fois plus éloignée du Soleil que ne l'est Neptune. Dans ces conditions, les attractions provenant des étoiles, avec les données admissibles sur leurs masses, pourront modifier un peu le mouvement de translation du système solaire dans l'espace, mais ne dérangeront pas d'une façon appréciable les mouvements relatifs dans l'intérieur du système, et ce sont ces mouvements qui nous intéressent.

Considérons l'un des corps de notre système; nous pouvons décomposer son mouvement en deux autres : le mouvement de son centre de gravité et le mouvement du corps autour de son centre de gravité. De là les deux principaux problèmes de la Mécanique céleste :

1° Déterminer les mouvements des centres de gravité des corps célestes;

2° Déterminer les mouvements des corps célestes autour de leurs centres de

gravite.

Nous commencerons par le premier problème, qui fera l'objet du tome I de cet Ouvrage; la solution du second ne sera donnée que dans le tome II.

Nous nous appuierons sur le théorème du mouvement du centre de gravité :

Les équations différentielles du mouvement du centre de gravité d'un système sont les mêmes que si toute sa masse y était concentrée et si toutes les forces qui agissent sur les divers points du système y étaient transportées parallèlement à elles-mêmes .

Soient A et A, {fig. G) deux des corps célestes, M un élément de masse déterminé du premier, M<, M',, ... les éléments de masse du second; le point M

Fig. 6.

sera soumis à l'action de forces connues dirigées suivant les droites MM,, MM',, — Il faudra d'abord trouver la résultante xMR de toutes ces forces, puis déterminer la résultante générale des forces MR qui correspondent à tous les éléments M du corps A, toutes ces forces étant transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité G de ce corps.

On voit donc que la première question qui se présente est la détermination de l'attraction d'un corps sur un point extérieur; on est amené tout naturellement à considérer en particulier le cas où ce corps est sphérique et homogène, ou composé de couches sphériques concentriques homogènes; on y est conduit par l'observation qui nous montre les corps célestes sous des figures peu différentes de la sphère, et par l'hypothèse de la fluidité primitive.

9. Soient A {fig. 7) un corps dont on veut calculer l'attraction R sur un point

Fig. 7-

extérieur N, dm l'élément de masse qui correspond au point M, [J. la masse

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du point N, ii la distance MN; l'élément M exerce sur le point N une attraction NB dirigée suivant NM et ayant pour intensité

f fx dm

Il faut trouver la résultante de toutes les forces, telles que NB, appliquées au point N, quand l'élément M parcourt toute la masse du corps A.

Pour y arriver, prenons trois axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy, Oz ; désignons par a:, y, z les coordonnées du point N, par a, b, c celles du point M, par p la densité du corps au point M, enfin par X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de l'attraction cherchée R. Décomposons la force NB en trois autres parallèles aux axes; elles auront pour expressions, en grandeur et en

signe,

„ dm a — X „ dm b — r „ dm c — z tjx— - , if^-i -i f/^— ^i ••