Considérons l'expression

dans laquelle/7 désigne un nombre positif, et ^ une quantité positive inférieure à l'unité. Cette expression est développable'en série convergente suivant les puissances entières et positives de p, car on peut écrire

et chacun des facteurs de cette expression peut se développer en série convergente suivant les puissances de ^, par la formule du binôme, parce que les modules de ^E^ >^^ et de pE"^^ ' sont égaux à p, donc inférieurs à l'unité. Nous pouvons donc faire

W = ce n = 0

et nous commencerons par chercher l'expression analytique de V|f' . Nous pouvons écrire

OU bien, en développant (o- — ^ (3)' par la formule du binôme,

Si Ton donne à i et y toutes les valeurs entières et positives, telles que

i H- / = n, on aura, d'après (5),

v</'.- y y ( iv 2W /^(p + i)...(/> + /-i) .

On en conclut, en donnant ày les valeurs o, i, 2, ... et à « les valeurs correspondantes, n, n— i, n — 2, . . . ,

I rt(/i — i){n — 2)(« — 3) 2^ 1 .2.(/> H- « — i)(/? + n — 2)

vif est un polynôme entier en o- et de degré n.

La quantité zSp^ définie par la formule (4) est une fonction de |3 et de a; on vérifie aisément qu'elle satisfait à l'équation

Si l'on porte dans cette équation l'expression (5) de z'^p^ et qu'on égale à zéro le coefficient de P", il vient

(7) (,-^^)^--(2/; + .)a^ + «(2y, + n)Vr = o;

voilà une équation différentielle linéaire du second ordre, à laquelle satisfont les polynômes V',f .

Nous considérerons d'une manière spéciale les valeurs /> = ^ et /? = i , et nous ferons

yCâ) p v(i)iT

^46 CHAPITRE XXVIIT.

Les formules (5), (6) et (7) nous donneront

.in L 2.(2« — l) 2.4-(2« — l)(2« — 3) •••J'

Ui = 2a, U2=4(7-— I, U3=8ct'— 4a, U4=i6(T*— 12(7^-}- I,

P„ est le polynôme de Legendre; il joue un rôle fondamental dans l'étude de la figure des corps célestes, et nous aurons à le considérer en détail dans le tome II de cet Ouvrage.

Les polynômes U,, sont susceptibles d'une autre expression remarquable. On peut écrire, en effet,

1 — 2(35 + [3« (,{3EVv/-i)(,(3E-Vv/-i)

EV/-1 E-Vv^ \ I — j3 E^ v^ I — [3 E-v *^-' On en conclut

5(1)— — __i (e^v^^ V (3«E'»Vv^~ — E-v/^ V (3«E-"'^v/^y

z(^)—-^, y S'»sin(«-+-i)V.

On a d'ailleurs

Il en résulte donc

TT — sin(/? H- i) V sin[(/i + i) arccosa]

smV six -a''

192. Revenons au problème que nous nous sommes proposé; cos/îV s'exprime

à l'aide de cos"V, cos""-V, ... ; d'ailleurs une puissance quelconque de cosV, cos^V est composée d'un nombre limité de termes tels que

/ji.'^v"cos*a;cos'^/, avec Ah-B = <7;

si l'on exprime cos*.r en fonction de cosAa;, cos(A — ■i)x, ... et si l'on fait de même pour cos^j, on voit que cos^V est composé d'une série de termes, tels que D cosi'a? cosyj; le coefficient D contient en facteur [x'v^ et les différences^ — i — j sont des nombres pairs, positifs ou nuls. On pourra donc supposer

( a ) cos « V --=: Q<-; + 2 2 Q<.'y cos ix-^-2^ Q';;]. cosy> +42] Qr; cos ix cosyj ;

i'ety désignent des nombres entiers positifs, tels que

i -hj = /i — un nombre pair; Q)j est une fonction de li. et de v qui est de la forme

(il) ix'vJ^{iJ.\v'-).

Il s'agit de trouver la forme générale de la fonction $ : elle est susceptible d'une expression analytique remarquable; mais, pour y arriver, il faut passer par un intermédiaire. On a l'identité

,, sin(/i + i)V — sin(« — i)V

2 cos nV = ^ — 7—^7 — ^^ '— ,

sinV

qui devient, en vertu de la formule (to),

(12) 2C0S/iV= U„— U„2.

Le développement de cos/iV se trouve ainsi ramené à celui de la fonction U„ considérée au numéro précédent. Nous pouvons poser, en ayant égard à l'expression (9) du polynôme U^ et à ce qui a été dit du développement de a'',

{b) U„ = R'o'^'o + 2 2] ^^'Co cos ix-i-2^ R'o«} cosy r +4 2] ^U cos ix cosyj ;

Rj'y sera de la forme (i i) et les indices i etj remplissent les mêmes conditions que dans la formule (a).

La relation (12) donnera

Les fonctions Rj'y s'expriment très simplement, comme on va le voir.