On trouve, par le calcul direct

1(j'^:^ F-^+ '■'^H- [i.^CO'&IX + y^C0S2/ 4- 4/J-vcos,a7 COSJ,

4(7^:= 3/ji(/jL^+ 2v^) cos^ + /jl'cosSj? -r 3v(v--i- 2jj!.^) cosj + v^cosSj

H- 6a^y cos2^ cos vH- 6u,v^ cosa; cos2 r, (i2) < f" y r- y>

8a-^= 3 (fJt.*H- 4/JL^y-H- v*) + 4i^Hi^^ + 3 v^) cos2a; + /jl*cos4-27

4- 4yH'-'''-^ 3/jL^) C0S2J + v'*cos4/ + 2 4i^v {ii^-\- v-) cos x cos/

-\- i2[i} y^ cos 2 cr cos 2/ + 8 fji^ y cos 3 x cos/ + 8 ]uiy^ cos x cos 3/,

Si l'on porte ces valeurs de a, a^, a% C7% ... dans les expressions (9) des polynômes U,, U2, .U3, U4, ... et que, dans la fonction W{\k^, v^) qui figure dans le

terme général

pi'y'/ ^'''(fx^, y^ ) cos i .r cosy'/,

on remplace \l par i — v, on trouve, après des transformations faciles,

U,= 2|JlC0Sa^ + 2VC0S/,

U2= (i — 2y)2 4- 2|ji*cos2j: + 2v^ cos 2/ + 3/jLy cos^ cos/,

U3= 2pL(i — 3y)^cos.r + 2 p.' cos 3 jc 4- 2 y (2 — 3y)2 cos/ 4- 2 y* cos 3/

4- 12^2 V cos 2 ;r cos/ 4- ii[i.'j- cos j:" cos 2/, Uv=: (i — 6y 4- 6y-)-4- 2pL^(i — 4v)^cos2 J7 4- 2 ^jt.* cos 4 -37 4- 2v2(3 — 4v)^cos2/

4- 2y^cos4/ 4- i6/jiy'cos.rcos3/ 4- 2 4]^*v*cos2^cos2/ 4- i6p.^y cos3d7 cos/,

L'inspection de ces valeurs particulières des polynômes U„ m'a conduit à penser que R'^j est égal au produit de [x'v^ par le carré d'un polynôme entier

en V, de degré " ~ ^ ~-^ • J'ai réussi, dans mon Mémoire déjà cité {Sur les perturbations de Pallas), à prouver que cela est bien général, et j'ai pu donner en même temps l'expression du polynôme en v, qui se trouve être un des polynômes de Jacobi, contenus comme cas particuliers dans la série hypergéométrique.

Ma démonstration repose sur les propriétés de la série liypergéométrique données par Gauss; elle est rigoureuse, mais compliquée; M. Stieltjes (Comptes rendus de l' Académie des Sciences, t. XGV) en a donné depuis une autre très simple, que je vais reproduire.