M. Stieltjes remarque que la formule

a = cos* - coso^ 4- sm* - cos/

est un cas particulier de la suivante

«7 = cos^'COS'l'' coso^ + sint]; sirn|»' cos/, quand on y fait

On peut donc prendre

(i4) 0- = a cos<j> cosj:' + bsin4^cosj,

(i3) a=:cos'y, b — sinip'.

Il faudra voir ce que devient le polynôme U„ de degré n en cr défini par l'une des formules (9), quand on y remplace cr par sa valeur (i4) et qu'on développe le résultat suivant les cosinus des multiples de ce et y. On va chercher, en partant de l'équation différentielle que vérifie le polynôme U„ considéré comme fonction do a-, à former une équation aux dérivées partielles pour U„ envisagé comme une fonction de ']^, x et j, à l'aide de la formule (i4)'

On trouve immédiatement

-.-r- = (— a sin'4»cos,3: 4- b cos^^cosj) -T-^j

— y^ = (— a sinvp coso: + bcos(|icosj)^ — 7-^ (a cos^^ cos^ -a- b sm^'cos/) — ,— >

-3— r =a^cos^4^ sm^o? --.-- acosd/cos^ — r- >

-^=b^sin'^sm'j-^/--bsin^cos7^^.

On a d'ailleurs, par la dernière des formules (9),

/i(/i + 2)U„ — [(acos'l' cos^ + bsindicosj)-— 1]

da''

+ 3(a cos(|i cos^ -H- b sirulicosj) -y— • On en conclut sans peine, en tenant compte de la relation a^ -f- b^ = i ,

= (— I -f- a^ cos^^ -H b' cos-y + a^ sin^^ + b^ sin-j) ^

, / I u • . a h \ rfU-

-h 2acosa/cosar + 2 b sina/cosv r coscr .- -r cosy ) —r^

\ ^ ■' costf sirnj; / ^(T

= CCS 2 (L p coso? .— , ces y —, - — — 2 C0t2 d» -^ •

^ \cos41 sinij; "^y 6^(7 ^ d^

45o CHAPITRE XXVIII.

On a ainsi l'équation cherchée (.6) î^^,eoU+^ + ~i„!^'* + ^^ + «(" + .)U. = o.

[]„ est un polynôme entier en a; une puissance entière et positive quelconque de

(7 m a cos ^ cos a-' + b sin 4» cos/

se compose des termes de la forme

(a cos4')'"^^^(bsin4')^'^^'^cosij:-' cosy/ -— a'+2pb-/'+^'/(i — sin^'l)^' sin-'^^l' x cos'\}; sin^^p cosïjocosjy.

On en conclut que U„ est de la forme

(17 ) U„= 4 ^ T',"j cos' 4^ sin-''4/ cos ias cos j'y,

où T-"j est une fonction entière de sin^^ et aussi de a et b; la différence /z — i — j est positive et paire.

Si l'on porte cette expression de U„ dans l'équation (16) et que l'on égale à zéro le coefficient de cosf'^cosyj, on trouve, après réduction,

d^^ sunj/ cos ^j; •- -^ ' ^ ^■' d^

On peut enfin poser, d'après ce qui a été dit,

sin*4^ = ^ et l'équation précédente devient

OU encore

(19) (^^-0^ + [(« + (S-+-0^-y]^'+«(3ïKy-o,

en faisant

Nous savons que l'on a

avec un nombre limité de termes au second membre.

Si nous substituons cette valeur de T") dans l'équation (19), nous trouverons, en égalant à zéro le coefficient de t^,

(/> + i) (/> -I- y) A(/^+') ::--:. {p + «)(/> + (3) A'/-' ; il en résulte

On reconnaît dans le second membre la série bypergéométrique F(a, [3, y, t), ce qui devait être, puisque l'équation (19) n'est autre chose que l'équation différentielle linéaire que vérifie la série bypergéométrique.

Nous écrirons C au lieu de A'*'^ de sorte que, en tenant compte des valeurs (20) de a, p, y, la formule (21) deviendra

C est une fonction de a et b, donc de -y. On a dit plus haut que n — «— y est

positif et pair; il en résulte que — est égal à un nombre entier négatif.

Si l'on se reporte à la formule (21), on voit que F représente ici un polynôme de

degré — en sin^'f .

Posons pour un moment

(23) Si;)' = Ti«'cos'^l;sin^-^ = C'cos'\|;sin^4F('^i^^— ^S i±/-±-^±^, y + i, sjn'^/');

la formule (17) nous donnera

(24) U« — 4 ^ SI"; co?>ix cosyj.

Or l'expression

(7 = cos4'COs^j;'cosx + sin4'sin4''cosj

reste la même quand on échange entre elles les lettres 'j/ et 'I»' ; il doit en être de même de U„ et, par suite, de SJ"'. On aura donc, en se reportant à la for-

mule (23) et désignant par C ce que devient G' quand on y remplace '\i' par '|,

C'cos'tl' sm^(]> F( j — -'^-^ }j -f- 1, sin-vj; 1

^ ■ , , • ■ 1 , T-, / ^ H- / — fi i -r- / -h n -\- 2 . . . , A

d'où

CCS' ^1 sin-' 4^ F I :^^ > 5 y + I , sin* ^ j

Le premier membre de cette équation est une fonction de ^' seul; le second ne dépend que de ^J^; «l» et ^' sont arbitraires; donc ces deux membres doivent être égalés à une constante indépendante de '^ et ^'. Désignons-la par c\"j et nous aurons

après quoi la formule (28) donnera

i Sl"j = cf] (cos4^cos^^)'(sin']; sin^O> F/"' "^-^ ~ ^^ ^ +■/ + ^^ + ^ / -i i , sin^^) (25) J V 2 2 y

( ^ \~~i ' ^ ../ + i,sm^^'

Il n'y a plus maintenant qu'à supposer

la formule (24) coïncidera avec {b) etSJ'y avecRJ"j; on aura donc

R!«; = c.,r; (cos' 0'(si„. ^)'F.(i±4^, i^L^"^,y + ,, ,i„, i)

ou bien

(a) W/IJ z=z c^/^J p'v-'F* ( ^ , ^ ,j + I ,

C'est la formule chercbée; elle est bien de la forme indiquée par l'induction. Tl ne reste plus qu'à trouver l'expression de la constante c*"'.

SLR Li: DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4^3

195. Cherchons le terme du degré le plus élevé en v dans RJ''j, quand on y remplace [jl par sa valeur i — v. On voit aisément que le terme de degré le plus élevé en v dans

est

n(/on(./) ^^

n ( 'i±^:t^ \ ni'^ — '--^.!

où l'on a posé d'une manière générale

Le terme de degré le plus élevé en v dans RJ"j sera donc, d'après (^Z),

et l'on pourra écrire

CCS ix cosjy -+- it'oi v"- * + ilbj v" -^ +. . .

On a, d'autre part,

a = ]Jicos.r -i- V cosy =:cos^ -i- v (cosj — cosj"). On en conclut

(27) Urt=r2''(C0SJ — COSa:)''v" +GiV'*-'-i- OïV^-^-h. . . ;

si l'on compare les expressions (2G) et (27) de U„, on trouve

(28) 2"(C0SJ-C0S^)'»=:4y (-O'CI"; f— ^ ."^".^"V^ : ^TcOSf.

r cosy y,

de sorte que le calcul des coefficients c\'j se trouve ramené au développement de (cosy — cosa?)" suivant les cosinus des multiples de x et j.

Posons

(29) 2" (cosj — cos^)" = \ ^ A'j'y cosix cosjy,

et nous aurons

'^"-^l ii(/on(./) J

Nous allons chercher les coefficients AJ/'j. On a

/ . £c ^ y\" / . ^ — y\" 2"(cosj — coso^)" 1= I 2sin — 7-^^) ( 2sin ■ —)

Or la formule du binôme donne

les nombres p et p,, p' et p', prennent toutes les valeurs entières et positives vérifiant les conditions

(3i) p + p,=:rt, p'^p'^ — n.

On conclut de ce qui précède

,^ v-( ( — i)''+P>+9>[Tl(n)V P-P' + P'-P' /— P-P'-P+Pi , /--

(3,)/,2'«'cos,-.cosy^=.2nB-k)n^iîîpV)'^ ' .. .^^^^w-..

Pour trouver dans le second membre le terme en costajcosy/, il faut poser les équations

(33) P-Pt + P'-P\ ^±,- p-p^-p'+?\^^..

si on les combine avec les équations (3 r), on en tire

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA EONCTION PEt\TURBATRlCE. 4^5

Les termes considérés dans le second membre de la formule (32) pourront

s écrire

n ('^'^ ^-^/\ n /» — ^— y'\ ^ //^ + ^ — a jj /n — i-^/x [^ £-{ ,,r+y>) /r-i ^ E-^^-y» ^/n J '

la somme des quatre exponentielles est égale à /^cosi'a^cosyjet la formule (32) donne

(34) hy^j^{-iy [n(/0]

11 convient d'examiner à part le cas de y = o ; on tire alors des équations (3 1) et (33)

, n ± i , nz:^i i

on aura, dans le second membre de l'équation (32), à considérer les termes

/ , y- U^i'^W (yjx v/=T , P-/X /=1\ .

la somme des deux exponentielles est égale à 2 cosï^, et il vient (35) />«=,^(-.)' ï"'"*l'

on trouverait de même

Il reste enfin à considérer le cas de t = o avecy=o; le terme constant du second membre de la formule (32) est

et l'on trouve

456 CHAPITRE XXVllI.

Il est possible de déduire les formules (35), (36) et (37) de la formule (34), en y supposant nuls l'un ou l'autre des indices « ety, ou tous les deux; il suffit en effet d'écrire comme il suit la formule (29),

2'' ( ces j — cos^)" = 4 ^ K"J CGS ix cos j'y + 2 ^ h'/^^ cos i j: -f- 2 ^ /ij,'|) cosy/ + à^ô% ;

on a d'ailleurs opéré ainsi dans l'équation (b). Les formules (3o) et (34) donneront

jj , /^4-^-K/ \ jj ^ « — i +./

[n(y)rn(^^±^ n^'^-^-/

cette formule est générale, à la condition d'y remplacer n(o) par t.

Les relations (c), {d), (e) feront donc connaître entièrement les quantités Q;.;y.

196. Si l'on combine le développement (3) avec l'expression (c) de cosnV, on voit que la fonction ^ se composera d'une série de termes de la forme

2ol)("^ COSi^ COS j'y = al)f'*' cos{ix -Jrj'y) -h ^l,(") cos{ij: —j'y),

chacun de ces termes étant multiplié par une fonction connue de J. Il faut arriver à développer toutes ces expressions suivant les puissances de e el e' ; on commencera par supposer e = o, e' = o, ce qui donnera r = a, r' = a' , (^ = /, ç;' = /', ^ = /'-/-':'-t-T = /'-X, / = /'4-/-'c'-T = /'-f->. -2t'; le terme -i-^"^ cos( icc -i-j'y) deviendra donc

(38) A(«)cos[(/4-y)/'-(i-y)>.-2yT'].

Il faudra maintenant remplacera, a\ "k, l' respectivement par

a -\- a\, a'-\-a'yJ, )• +y, ^'-hy',

X, y, x' et y' étant les quantités considérées au n" 93.

L'expression (38) est de la même forme que celle donnée pour R(, par la formule (19) du n" 119. Nous rentrons donc dans une question connue, qui ne présente plus de difficulté, et le problème théorique que nous nous étions proposé peut être considéré comme résolu.

197. Lorsque le rapport-, est assez petit, comme lorsqu'il s'agit des pertur-

bâtions de Pallas par Saturne, il convient de développer ^ suivant les puissances de — ,• Les formules (3) et (8) donnent

pour résoudre la question, il n'y aura qu'à trouver ce que devient le polynôme P„ de Legendre quand on y remplace g par son expression (2), le résultat devant être développé suivant les cosinus des multiples de x et y; c'est ce qu'a fait Hansen dans le tome II des Mémoires de la Société Moyale des Sciences de Saxe. M. Cayley a donné depuis une autre démonstration des formules auxquelles était arrivé Hansen, dans le tome XXVIII des Mémoires de la Société Royale astronomique.

Nous suivrons une méthode tout à fait analogue à celle employée dans les numéros précédents; nous pourrons faire tout d'abord

(/) P„ (a) = A'o",'o + 2 2] ^f,l ces ia; -h 2 2] Ay^! cosy/ + 4 2 A'/y ces iœ cosyj,

OÙ AJj est une fonction de J. Il y a lieu maintenant de chercher à former une équation différentielle que vérifie la fonction P„, envisagée comme dépendant de X, y et J. On trouve sans peine

— rr- ■^= - smJ(cosr — coso?) — ;— ,

^., =: -cosJfcosr — cosa;) -^ + -r sinM (cosr — cos^)- , "> dJ^ 2 ^ •/ ' d'j L\ ^ ^ ' dfjï

/JtCOS^-7 h /J.^(l — cos-^)

à^^n dVn ^, ^ ,d'Pn

V " ~ ' '""^ lh-^''^'~ ^"^ ^^ -d^ '

On a d'ailleurs, par la dernière des formules (8),

dP, d^P

n{n -h i)P„= 2(|jLCOS^4-ycos^) —^ -H (]jt.^cos^j? + 2jjiv cosa" cosj + v^ cos^^'— i) — j-f' •

On tire aisément de là l'équation cherchée

^'P« ,.dP„ I ôn\ I (T-P,,

-^ 4- COt J -~ H J— H ^.-^ + // (« -h l) P„— o.

Si l'on substitue dans cette équation l'expression (/) de P^ et qu'on égale T. - I. 58

458 CHAPITRE XXVIIT.

à zéro le coefficient de cosioo cosj'y, il vient

(4o) ^+eotJ-^

n{n -hi)- - -•^' A',";=ro.

On voit directement que Aj"- doit contenir le facteur pi.'v-' ; il y a donc lieu de faire

En substituant dans (4o)' il vient, après des réductions faciles,

"^ "^ iîÏÏJ '^^■^ '■ + ^y + I ) CCS J + 2y - 2 i] -^ H- (« - / -j) in + f +y 4-1 ) Bl"' = o.

Nous regarderons B'"- comme une fonction de v = sin^ - et nous trouverons aisément que l'équation précédente devient

C'est l'équation

de la série hypergéométrique, en prenant

On aura donc, en désignant ^^r kfj un coefficient numérique,

(g) A',:yr^- A-^'/j^'v^ F(« 4-y- //, /+y + « -+- 1, ay + 1, v).

Il reste à trouver l'expression de k^"j; i -\-j — n étant égal à un nombre entier négatif pair, F est un polynôme entier en v, dans lequel le terme du degré le plus fort est

d'ailleurs, le terme de degré le plus élevé dans [x'v'=:(i — v)'v^ est (— iyv''+^: le terme du plus fort degré dans AJjse met dès lors aisément sous la forme

et l'on en conclut

SLR Li: DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4^9

On trouve, d'ailleurs, en remplaçant dans

a par cosa; + v(cosj — coso?), et ayant égard à la formule (29),

(42) P„(a) = 4v« ' ' ^.; '/ ^ "" '1 ^ ' ^ Il ^^'"i ^Q^ ^'-^ ^Q^^> + ^'^ '■'"~' + ^'^ ^^""' + • • • • La comparaison des expressions (4i) et (42) donne

/.,«. . ,v A(«) n(/^ + /+./)n(»-zH-./) ^/,y-^ j; /«/,y 22«n(2y)[n(/o?

et, en remplaçant h\"j par sa valeur (34), il vient finalement

Les formules (/), (g), (h) résolvent la question.

198. Le développement de la fonction ^ se composera donc d'une série de termes de la forme

^^ cos/^cosy>--= ^ p^ cos(i^4-y» + '- ^-, cosiU—Jy).

Si l'on remplacer- ety respectivement par

w' — w -i- td' — t' — {m — r), w' -i- tv -h gj' — t' + gj — t, on voit qu'on sera ramené à trouver les développements périodiques de

sin , . , ., cos ^ -^ ^

I sin , . , ., ,

on a obtenu ces développements dans le Chapitre W.

199. Le développement de la fonction perturbatrice a donné lieu à un très

46o CHAPITRE XXVIII. — SUR LK DÉVELOPPEMENT, ETC.

grand nombre de travaux; il nous est évidemment impossible d'en rendre compte. Nous nous bornerons à citer les Mémoires suivants :

Cauchy. — Œuvres complètes^ r'« série, t. V, plusieurs Mémoires.

V. PuiSEux. — Journal de Mathématiques, i" série, t. V et VI, trois Mémoires.

BouRGET. — Annales de l'Observatoire de Paris, t. VII.

G.-W. HiLL. — On the development of the perturbative function in periodic séries.

S. Newcomb. — Development of the perturbative function (Astronomical Papers, t. 111).

Gyldèn. — Undersokningar af Theorien for Himlakropparnas Rorelser, II.

0. Backlund. — Zur Ëntwickelung der Stôrungsfunclion {Mémoires de V Académie des

Sciences de Saint-Pétersbourg, y" série, t. XXXll). H. Radau. — Annales de l'Observatoire de Paris, t. XVIII. B. Baillaud. — Annales de l'Observatoire de Toulouse, t. II.