CHAPITRE XXIX. TRANSFORMATION DE HANSEN
TIUNSFORMAÏION DE HANSEN POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES MOUVEMENTS DES PLANÈTES.
200. Haiisen a donné pour les équations différentielles des mouvements des planètes une transformation importante qui forme la base de tous ses travaux. La force perturbatrice y figure par ses composantes S, T, W, rapportées au rayon vecteur r de la planète troublée, à la perpendiculaire au rayon vecteur, dans le plan de l'orbite et à la normale au plan de l'orbite. Dans l'ordre d'idées que nous avons adopté jusqu'ici, il nous paraît naturel de déduire la transformation de Hansen des formules (A) du n'' 185, dans lesquelles se trouvent déjà les composantes S, T, W; il nous semble d'ailleurs qu'on pénètre ainsi assez profondément au fond des choses.
Commençons par rappeler celles des formules (A) ou de leurs combinaisons qui vont nous servir :
k^=ifix=:z. f(i -f- m) = n^a^, u ^ w + cj — @,
dt~ IX "V/^L--"-
diTs — 6) de m' dt ^ dt \i.
— î^-^ bcostv — e
ddf m' k dt y. ^p
SI no --■ = ;=W/sin j.
^ dt IX ^p
ï smw ,
Remarquons maintenant que, dans la méthode de la variation des constantes
djc dy dz H' 'dt^ ~dt
arbitraires, les expressions analytiques de x\ y, z, —^ -^, -^ sont les mêmes,
dans le mouvement elliptique et clans le mouvement troublé; il en sera ainsi de r et -^ » puisque /■ = \jx^ +y- -f- z- est une fonction de x, y, z. On voit d'ailleurs aisément que, dans le mouvement elliptique, on a jtt = -j= e &\nw. On
Ctt y/j g2
aura donc aussi dans le mouvement troublé 0 ,- "
I H- e costv
Formons l'expression de -^ en différentiant la relation (i) et tenant compte de la formule (2); nous trouverons
div kJp . I dp de
esmw -7- r= — i^ esm^v /- -h coswf -i--
a^ /-^ /• dt dt
Remplaçons ^ et ^ par leurs valeurs («) et nous obtiendrons après des transformations faciles,
/ 5 X dw ksjp m' k\/pV ( r\ 1
dt r^ Ij. e l \ pj J
ou bien, en ayant égard à l'expression (a) de ,- — >
(4) ^^ =^.cos9^.
201. On est amené ainsi à introduire deux nouvelles variables ç^ et or, définies par les formules
(5) ^coscp^.
(6) V z=zw -^TS — Ô-ra^u-ha.
Les relations (4), ( 5) et (6) donneront alors
/ \ dv kJp dv , ,-
d'où, en différentiant et remplaçant ^ par sa valeur (a), C'est l'une des formules fondamentales de Hansen.
TRANSFORMATION DE IIANSEN. 4^3
Si nous différentions maintenant la relation (2), nous trouverons
d'^r k . de k dw k . dp
dt' ^p dt ^p di ^p^p dt
mettons pour —, ~ et ~ leurs valeurs {a) et (3), et il viendra
flf-/- k"- m' ,,
(q) -7-r = — ecos(PH A^b;
^■^' dt- n \).
la composante T a disparu de cette équation, et c'est là un fait important.
On peut ensuite remplacer eç^Q^sv par sa valeur- — i, déduite de la formule (i), ce qui donne
OU bien, en vertu de la relation (7),
d'r dv^ k''m'
c'est encore une des formules fondamentales de Hansen.
Si nous introduisons une notation spéciale pour représenter la quantité -L = h, les formules (a), (7), (8) et (10) nous donneront donc cet ensemble de
relations :
d^f dv^ k^ in! ,,^
dt^ dt^ r- IX '
dt\ dt J ^
dt
-/- — — /iWr cos((' — t), dt [i. ^ '
, . dQ m' , ,,r . , (d) /sincp^ = — kWrsin{v — j),
r/cr dO
dt=''''''^dt-
Ce sont bien les formules qui servent de base aux mélbodes de Hansen,
202. Il est facile d'obtenir une représentation géométrique de l'inconnue auxiliaire a-.
Soient (^fig. 22) NI et N,I les grands cercles suivant lesquels la sphère de
Fis 2:?.
rayon i est coupée par les positions du plan de l'orbite aux époques t ^it -^ dt\ la position limite du point d'intersection I de ces deux grands cercles sera le point M où le rayon vecteur r de l'époque t perce la sphère. Abaissons le grand cercle NA perpendiculaire sur N,I; nous aurons
donc, d'après la relation (5),
AN,— rfa.
Soient X et X, des points pris sur les deux grands cercles NI et N, I, tels que
NX=:<7, N,X, = (7 + c/cr;
on aura AX, = NX et, aux infiniment petits près du second ordre,
