IX = IX
on obtiendra donc la série des points X sur la sphère en supposant que le grand cercle NM roule sans glisser sur la courbe C, lieu des points M, le point X restant fixe sur ce cercle mobile. La courbe C n'est autre chose que l'intersection de la sphère et du cône dont le sommet est le centre de la sphère et la directrice la trajectoire de la planète P. Dans ce mouvement, l'axe instantané de rotation coïncide à chaque instant avec le rayon vecteur SM; il est facile de calculer la vitesse angulaire w de la rotation instantanée. On a, en effet,
XM — v-\-a=iV, MN = p — (T, NA = sin 9 dO, NA sin9 dQ
sinMN^^ sin(('— <t) c/^
d'où, en remplaçant sinç -r par sa valeur {d).
TUANSFORMATION DE HANSEN. 4^5
Q dl
ni , „r le) (^= — hWr,
L'angle a n'étant donné que par sa différentielle, sa valeur o-» à l'époque zéro reste arbitraire; Hansen prend o-q = Gq.
Remarque. — Prenons sur le grand cercle XM l'arc XY = 90", et soient x et y les coordonnées de la planète P rapportée aux axes mobiles SX et SY. On aura
Si l'on forme les expressions de -777 et de -^ > et qu'on y remplace -^ et -^^ par leurs valeurs tirées des équations {b), il vient, après réduction,
-— = 5 H Ar-S cos P A-2 r sm v,
dt^ \ r- [i J [X
d-s ( k'^ m' ,,^\ . rn'
du- \ 1 V- ) F-
(X) = - A-(Scosr-Tsint'),
(Y) — — ^^(Ssinr + ïcosr), [1-
si l'on pose
(II
on pourra écrire
ib') \
di^ ^ /•» ^ '
11 résulte des formules (11) que (X) et (Y) sont les projections de la force perturbatrice sur les axes SX et SY. Les équations {h') sont les équations différentielles du mouvement relatif de la planète dans le plan de l'orbite; on voit qu'elles sont les mômes que si les axes SX et SY étaient fixes. On aurait pu obtenir directement ces équations {b'), ainsi que les formules {d), par la ibéorio des mouvements relatifs, en appliquant le théorème de Coriolis [voir la Thèse de M. Périgaud, Exposé de la méthode de Hansen, etc. (^Annales de t' Observatoire de Paris, t. XVIl)].
203. Il nous faut montrer actuellement comment on calculera les composantes S, T, W.
Si l'on différentie par rapport à a?, y et :; l'expression connue de la fonction T. - L 59
perturbatrice du mouvement de la planète P, on trouve, pour les projections de cette force sur les axes de coordonnées,
où A désigne la distance des planètes P et P',
Supposons maintenant que l'axe des x coïncide avec le rayon vecteur r, l'axe des j avec la perpendiculaire à r située dans le plan de l'orbite, et l'axe des ^ avec la normale au plan de l'orbite. Soient (/ig. 23) M, P et Q les points où ces
Fig. 23.
trois droites rectangulaires percent la sphère de rayon i. On aura
x-=ir, yz=io, s =: o.
Les trois composantes (12) seront respectivement égales à f/n'S, tm'T et îm'W; on aura donc
(i3) S = .zr' ( J- J- ) - — , T = y'1 - ^
Soient X le point considéré antérieurement sur le grand cercle MN, X' le point analogue pourM'N'; on aura
XN = (7, XM=:<', X'N'=cr', ' X'M'=v'.
Nous poserons
XG = 0, X'a = 0';
il en résultera
MG=r
