TRANSFORMATION DE HANSEN

0, MT, = p'-0', NG~0-(7, N'G = 0'-a'.

L'application de la formule fondamentale de la Trigonométrie spliérique aux triangles M'GM, M'GP, M'GQ fera connaître les cosinus des arcs M'M, MT, M'Q,

lesquels sont égaux respectivement à —> —y ^i si, dans les formules obtenues, on remplace cosJ par i — 2sin^ -> il viendra

=:cosM'M = cos(/— c^ — 0'+ 0) — 2sin^ - sin(ç' — 0) sin(^''— 0'), = cosM'P =:sin(^''— t- — 0'~h0) - 2sin^ -cos(t^ — 0) sin ((-''— 0'),

cosM'Q

sinJ sin(p' — 0';

Le triangle NGN' donnera d'ailleurs

sm - sin —

sin

sm - cos — cos • sin

cos - sin r= sin ■ cos

J 0' ct' 0 u cr d — COS - cos = cos

6' 9 — 9' — cos —

On a aussi

A^ = 7-2 -h /-'^ — 2 /•/•' cos MM',

(i6) A2i=:/-2+r'2— 2/v'cos(v^'— p — 0'4-0) -j-A/v'sin^ - sin(r — 0) sin(t''— 0')

Les formules (i3), (i4)» (i^) et (iG) déterminent S, T et W en fonction de /', r', ç», / et de c, or', 0, 0', cp et <p'.

Les équations (b) et (r/) paraissent décomposer le mouvement en deux autres, le mouvement relatif dans le plan de l'orbite et le déplacement du plan de l'orbite; les premiers membres des équations (/>) ne renferment en efl'et que ret ç' ; mais il est bon de remarquer que les seconds membres contiennent 0, cp et a-, qui sont introduits par les expressions données plus haut pour S et T.

Nota. — Les formules (b), (c) et (d) ont été données aussi par Wronski (voir, dans le tome II des Annales du Bureau des Longitudes, un Mémoire de M. Yvon

Villarceau, Sur une nouvelle forme des équations différentielles du mouvement des planètes et des comètes); mais c'est Hansen qui les a publiées le premier.

204. Supposons effectuée l'intégration des équations {h), (c), {d)-, voyons comment on calculera pour une époque quelconque la longitude et la latitude liéliocentriques L et B. Abaissons {Jig. 23) l'arc de grand cercle MH perpendiculaire sur le grand cercle .rj; nous aurons

et le triangle rectangle MHN nous donnera

icosB sin(L — 6) = C0S9 sin((' — ct), cosBcos(L — 5) m cos(p--(t),

sinB = sin9sin(p — ct).

Le calcul de L et B par ces formules présente cet inconvénient que les facteurs C0S9 et sin9 sont variables à cause des perturbations et qu'on ne peut pas construire commodément des Tables pour le calcul des seconds membres de la première et de la troisième des formules (17). Hansen a surmonté cette difficulté par un artifice remarquable que nous allons expliquer.

Soient cpo^t Oo= Œo les valeurs initiales de 9 et ô; Hansen cberche à déterminer les quantités F, 4*. ^' ot5, de manière à avoir

( cosBsin(L— B,^—V) — cos9osin(<' — B^) - ^, (18) I cosBcos(L- ^0— r)= cos(r — ôo) -f-^]>',

sinB = sin9o sin(p — 0o) +■ ^•

On peut écrire

développer ^^^(L—Oo-T) et remplacer cosBsin(L — G), cosBcos(L - 0) et

sinB parleurs valeurs (17); si l'on met en même temps (^' — a) + (a — ôo) au lieu de v - 0^, les relations (18) donneront

"^ = [cos9ocos(<7— 0o)— cos9cos(Ô — ôo — r)]sin(<'-— 0-) + [cos9„sin {a — 9o) — sin (0 - 0^ — F)] Q,os{y — a),

, . ^'^'= [sin(cr— ôo) — cos9sin(9 — 9o — r)]sin(c — (7)

j +[-cos(a— Ôo) ~HCOS(Ô — 00— F)] cos(r-cr),

/ 5= [— sin9ocos(cr — ôo)4- sin9]sin(p— a) + [— siii9oSin((7 — Ôu)]cos((' — a).

TRANSFORMATION DE IIANSEN. l\6c)

On va profiter de l'indétermination de F, donc de 0 — 0^ — F, de manière que, pour toutes les valeurs de t' — a, on ait

A et A' étant des quantités indépendantes de v — a.

Si l'on se reporte aux expressions (19), les conditions (20) donneront

cos(poCos((T — 0o) — coscpcos(9- - Oo—T) = A[sin9 — sin9oCos(o-— 9^)], cos9osin(a — d^) — sin(0 — ^o — F) =— Asincpo sin(o- — d^),

sin(o- — 0o) — C0S9 sin(0 — 00 — T) = A'[sincp — sin9ocos(cr — 9o)],

— cos((7 — 9o) + cos(Ô — ^0— F) =— A'sin9oSin((T— do).

On tire de là deux valeurs de sin(G — ôo — F); en les égalant, on aura une équation de premier degré entre A et A'; on fera de même pour cos(0 — Oo — F). On trouve ainsi

1 sin(0 — do— F) — (coscpo-i- A sincpo) sin (a — 9o),

I cos(9 — 00— T) =:cos((7 — 9o) — A'sin^o sin(!7— 9o),

I Asincpocosç sin(o- — 9o) -i- A' [sin 9 — sin9oCos(a- — 9o)]

\ = (i — COS90 coscp) sin((T — 0o)>

1 A[sin9 — sin9o cos(a- — 9o)] — A' sin9o COS9 sin(cr— 9q)

\ 1= (cos9o — C0S9) cos(o-— 0o)-

L'élimination de A entre les deux équations (22) donne

I — cos9o COS9 — sin9o sin9 cos(o- — 9q)

(28) A' =: sin 9 sin ((7 — 00 )

[sin9 — sin9o cos(o- — 0o)]^+ sin^9ocos'^9 sin='(a — Oo)'

le dénominateur de cette expression peut s'écrire

(sin^9o— sin*9ocos^9) cos^((t — 9^) — 2 sin 90 sin9Cos {a — 9^) -h sin^9 + sin^9o 005^9 = [i — sin9o sin9 cos((7 — 0o)]^— cos^9o 003^9;

sous cette forme, on voit qu'il est divisible par le numérateur, et il reste seulement

. , siri9 sin ((7 — 0o)

en posant

x = I 4- COS90COS9 — sin9o sin 9 cos((t - 9^).

Portons cette valeur de A' dans la première des équations (22), et supprimons

le facteur sin(a-— Oo); nous trouverons

xA sincpoCos^ =:i — cos-90 cos^cp — sin^9 + sincpo cos^o sin© COS9 cos(o- — Oq), __ sin 9„ cos 9 -+- cos 9o sin 9 cos (cr — 0o )

En substituant ces valeurs de A et A' dans les formules (21), on obtient

COS (9 — 9 T) — (^ + cos?oCOS9)co^(<^ — ^0) — sin9pSin9

et l'on vérifie sans peine que l'on a

sin\9 — 9o — T)+ cos' {9 ~9o~T) = i;

les conditions (20) sont donc bien remplies.

Voici l'ensemble des formules qui résolvent la question :

(e) X = I + COS90COS9 — sin9oSin9 cos(o- — 9o))

(/) s = sin9 sin(f — a) — sin9o sin(p — 0o)> ■

\ cosBsin(L ~-9o — T) = cos9oSin(»^ — ^o) — - [sin9oCos9+ COS90 sin9 cos(o- — 9^)],

1 sinB = sin9oSin(p~ôo) -+- ■«;

n(9 — 9 -- D — (cos9o4-cos9)sin(cr— 0») ^ ° X

,n__n -pv (i + coscp„cos9) cos((7 — 0^ ) — sin9oSin(p

cos

On calculera F par l'une ou l'autre des formules (h).

Le but cherché est atteint, car on pourra construire trois Tables donnant les valeurs des premières parties des seconds membres des formules {g), savoir cos(posin(ç' — Oo), cos(ç^ — Oo) et sin^o <^os((^ — Oo); on entrera dans ces Tables avec l'argument v — ^q-, les parties complémentaires des seconds membres des formules {g) sont petites, car elles contiennent en facteur la quantité s qui est de l'ordre dem'sinooî en effet, si l'on supposait m' = o, on aurait cp — 90' '^ = '^0 = ^o et la relation ( f) donnerait ^ = o ; a — Oo est de l'ordre de m'. La valeur (e) de X est égale à

I + COS90 cos 9 — sJn9oSin9 = I + cos (90 -1- 9),

en négligeante'^; en négligeant/^', on peut prendre x= i h- cos2cpo = 2cos'^9o-