TRANSFORMATION DE HANSEN. 4? I

On verra d'ailleurs dans un moment que F est de l'ordre de m''^; si donc on peut laisser de côté les termes en m"^, ce qui arrivera souvent, les formules (^) pourront être réduites à

i cosB sin(L — Ôq) = cos9oSin(^' -- ©o) — 5lang9o> {g') < cosBcos(L — 9o) = cos((^ — 9o).

( sinB = sintpo sin(t' — 0o) +-5;

ayant construit les trois Tables dont on a parlé, il suffira de calculer dans chaque cas la petite quantité ^et l'on obtiendra ainsi, avec la plus grande facilité, LetB.

205. Dans le cas général où l'on conserve les formules {g), Hansen trouve encore le moyen de présenter les résultats précédents sous une forme plus simple en introduisant deux quantités auxiliaires P et Q au lieu de cp et a, par les formules

i P -— sino sin((T — on), {k) \ ^

{ Q =r sintp cos((T — 9o) — sincpoi

P et Q seront de l'ordre de m' sin (po- L'expression (/) de s donnera, en y remplaçant v — a par ^^ — Oo— (a- — Oq),

s=: [sincp ces (a— Bq) — sin 90] sin (p — Oq) — sin 9 sin(o- - 9o) cosp — ©o

ou bien

(/) 5=Qsin((> — 0o)-Pcos((^— Ôo).

La valeur (e) de x pourra du reste s'écrire

X = 1-+- COS90COS9 — sin9o(Q + sin9o), {m) X = COS90 (cos9oH- COS9) — Q sin9o.

On aura ensuite

sin9oCOS9 H- cos9oSin9 cos(o- — 9o) =: sin9oCOS9 + cos9o(Q -+- sin9o)

— ^[cos9o(cos9o4-cos9) -Osin9o]-^ ^^^=xlang9o • ^

de sorte que les formules {g) pourront s'écrire

1 cosBsin(L — 9o — F) — cos9oSin((^ — 9o) — -îf lang9o-i ^ — V

y V ^ XCOS90/

cosBcos(L — 5o — P) = cos(p— 9o) +s ,

sinB = sin9o sin(p— ôo) -h5,

Calculons -^- et -~ en partant des relations {k)\ nous trouverons

j^:=cos9sm(a-9„)^+sin9COs(a-9o)-,

] dQ , û \^9 ■ • I D \^^

[ -^ = coscpcos(<7 — 0o)^ — sincp sin((T — 0o) ^;

d'où, en remplaçant -^ par cos 9 -^ et ^) ^ par leurs valeurs {d),

-^ = ^/'/' sin(r- 9o)Wcos9, (o) '

f -T- = — hr cos((^ — ^o) Wcoscp.

Il nous reste à faire connaître une expression remarquable donnée par Hansen pour la quantité F. On tire des formules (A)

tang(9-eo-r)- (coscPo+cos9)sin(a-0J

(1 4- COSCP0COS9) cos(^c7 — 6*0) — sin^oSincp' en différentiant et réduisant, il vient

,y [i + cos(pocos<p — sin9osin9cos(a — 0o)] (COS90-1- COS9) -7- 4-sin9oSin(a — Q^)

dt dt [i 4- COS90COS9 — sin9oSin9 (•os((7— 0o)]*

il y a un facteur commun que l'on peut supprimer; on peut aussi remplacer-^

par — — ~ et il en résulte ^ COS9 dt

dV sincp — sin<p„cos((T — On) . da . . , r. . do

X ^ = — -^^ sin 9 ^ - sin 90 sin (^ - ^o) ^-

Portons dans cette équation les valeurs de -^ et -j^ tirées des formules (23) et il viendra, après réduction,

XC0S9 -y- = [sin9 cos ((7— 60) -- sin9o] -^ 51119 sin((T — Oq) -~

ou simplement, en vertu des relations (k),

dl -^ dt dt (n) -—___ .

dt XCOS9