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d.Ti dxj ~dt

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dt ) ~^\ dt dt j j '

ï ety désignent deux quelconques des nombres i, 2, ..., n.

Les formules (d') ou (6?") représentent les intégrales des aires et la formule (/') ou (/") l'intégrale des forces vives dans le mouvement relatif des planètes autour du Soleil; ces quatre intégrales sont les seules que l'on connaisse jusqu'ici.

18. La forme (g) des équations différentielles du mouvement relatif n'est pas la forme définitive; pour arriver à cette dernière, considérons les trois premières des équations (g). En ayant égard à la valeur de U' et remarquant que les quantités A2.3, A^ ,, .. ., A3 ^, ... ne dépendent pas de a?,, j,, r,, nous pour-

rons les écrire ainsi :

df"

('9) rff^+f('"»+'"'''7ï+'(-Tr

'dt^

f(mi + /«i)^ +f

d f in.i m.^

ne dépendent pas de ^< , j< , s, ; on a donc

X^ à :ri ^2 + J, J2+ -1 -:

ri dxi ri

^___à ^i^3+ri J3+-1 '1 <?-3?i

La première des équations (19) devient

~diy

+ f(mo + mo-3= f^'^^^^I^A;;;

(? /' I .a?, ^2 + JKi .X2 + ^1 -2

+ ^'^^^ ix, Kj;:, ^

On obtient ainsi la forme suivante, la plus usitée, pour les mouvements relatifs des planètes autour du Soleil :

d^x^ -, ^ X, dW^

d-x,i „^ ^ x^ (Jlij

-^+f(mo+,«2)^ = ^-,

Ces équations (A) constituent un système de 3« équations différentielles simultanées du second ordre. Pour en déduire les valeurs les plus générales de x^, y,, z■^; ^2» Ja» ^2? •••' il faudrait obtenir 6n inté^grales distinctes de ces équations; jusqu'ici, comme nous l'avons dit, on n'en connaît que quatre, qui sont données par les formules (d') et (/') ou (d") et (/").