CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES

FORME SYMÉTRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT RELATIF DES PLANÈTES.

19. Les équations (A) du Chapitre précédent sont celles dont on se sert effectivement pour calculer les mouvements des planètes; dans certaines recherches théoriques, elles présentent toutefois un grave inconvénient, elles ne sont pas symétriques : leurs seconds membres contiennent en effet des fonctions R,, R^, ..., qui diffèrent d'une planète à l'autre. Il est possible d'obtenir pour les n planètes des équations différentielles dont les seconds membres ne contiennent qu'une seule et même fonction ou plutôt ses dérivées partielles du premier ordre

Conservons les notations du Chapitre précédent; nous allons remplacer les variables \^, '/jq, 'Co» ^i. ^o ^^ ••• par un système de coordonnées défini comme il suit.

Fig. 10.

Mo G,

Soient i^fig. lo) :

G, le centre de gravité des masses M^, et M, (lesquelles sont condensées, comme

on l'a dit, aux points M,, et M, ); G^ le centre de gravité des masses M,,, M, et Ma ;

Ç%n-K le centre de gravité des masses M^, M,, Ma M,,, ;

G celui de tout le système.

y 8 CHAPITRE IV.

Nous prendrons comme nouvelles variables :

X,, y,, z,, coordonnées de M, par rapport à trois axes parallèles aux axes fixes et

passant par M^; Xa, yo, Zo, coordonnées de Mo par rapport à trois axes parallèles aux axes fixes et

passant par G, ; X3, Vg, Z3, celles de M3 par rapport à Go ;

x«, y», z«, celles de M« par rapport à G,,.,,.

Nous y ajouterons les coordonnées X, Y, Z du point G par rapport aux axes fixes.

La première chose à faire, c'est d'exprimer les anciennes variables en fonction des nouvelles.

Pour y arriver, représentons par X,, Y,, Z, les coordonnées de G/ par rapport aux axes fixes et posons d'une manière générale

( i) nio -h /«, -h ««2 4- ... + nii z= p.,-,

l'indice «pouvant prendre les valeurs o, i, 2, ... /j; nous aurons

(2) ^i=^o+X„ |î=:X, + Xï, Ijr^Xj-hXs, ..., ^„ = X„, + X„.

Mais on a aussi, d'après les propriétés du centre de gravité,

fi, Xj =/WoÇo+''il^l,

IJ.2 X, = mo lo + '«1 11 + nti ^s, >

lJ.,1-1 X„i = /Wo lo + ffh 11 + /^Î2 |j 4- . . . -f- nin-i !„-,,

lin X =mo £0 + /«i H, -f- Wj I, -h . . . -t- w«, ^„, + /«„ |„

Tirons de là les valeurs de X , , X2 , . . . , X„, et portons-les dans les relations (2) ; nous trouverons

Il =|o+Xi,

j. /noIpH-zn, H, , ^

> m„ ^0 -+- wij II + /«î ^2

>- ^^n lo + /n, g. H- . . . -H /n„- 1 g„i

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMETRIQUES.

Résolvons ces n équations par rapport à \^, \., H„, et il viendra

Ç3 = Ço+ /«I — 7t- /«2 1- X3,

V >- Xl ^2 X« — 3

?«-2 = ÇO + /«l K '«2 h . . . + m„3 • + X,j 2,

4/7-1 = Ho + /^l — + "«2 — -i- V. > Xi X9

4„ - Co+ ^^1 — + rtx^ — + ■

Portons ces valeurs de ^,, ^2» •••» ^« dans la dernière des équations (3), et nous en tirerons

fx„ X r= fx„ Ço 4- /«, ( fil + m^ + . . . + m,j) —

Xo Aw 0 Xm — I X/1

7??2 ... — m„2 = — /'^j-i ——^ — rfifi —^

P'I ^■2 Prt-2 /^«-l ^'■/j

Substituons cette valeur de Eq dans les équations (4), et nous trouverons

^n — X. + ft,j i — ,

ii — X — '}}„ — — /?z„.,

P-rt pre — 1

. . . — Wa

rrii

Ces formules et deux groupes tout pareils, relatifs aux coordonnées y] et C,

8o CHAPITRE IV.

définissent les 3/z -f- 3 anciennes variables en fonction des nouvelles, qui sont

X, Xj, Xo, • ■ • ) x„, Y, y,, ja, ..., y,n

A, Zj, Z2, . . . , Z„.