ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SY3IÉTRIQUES

Or, en tenant compte des formules (7), on trouve aisément

=: — (mo + /Wj -[-...+ m;i ) -^ -+- irij '-f — = o,

i=zn

=: ( mo + mi + . . . + 77ly i ) (-'-A + ,71 j ( ^ ) = '^^^-^' ( /^^y + /^,, ) — ^

\ P-y / \ ry / rj i

et, en supposant, pour fixer les idées, y <X:,

2 "^i^ij «j,/t = /'îo-^o.y ^0,/t + ^h ttij «,,/, H- . . . -i- my, «y-i,y «y-i,/, + ^y Cljj aj^u

= (/noH- m.H-. . . -(- nij^A -^ m/'-^— ^ -— — o.

On a donc ces relations

2 miaij = o,

i-zO

( 8 ) ( 2 rui ttij Ui^k — o, pour y ^ A,

■^ ry

et il en résulte cette formule remarquable

(9) moeo + 'n,^l-+-.. . -h m,^l ^. |ul,X^+ ^ /«,x? + ^m,xl + . . . + ^-^ m„x^

On en aurait deux autres toutes pareilles pour les coordonnées y] et t.

On peut différentier les équations (G) par rapport au temps; on aura entre les

dérivées -j-, -~, -~ des relations de même forme, telles que

-(ty-".(§)'-— (§v

On en conclut immédiatement l'expression de la force vive 2T du système des points matériels Mo, M<, M^, • . ., M^,, exprimée avec les nouvelles variables; on a en effet

2 T r= m d'où

dt ) V (it

çpLy fdYy /dzy

dt) '^\dt) "^ \di)

\ dt

dVi 'dt

d'Li ~dt

21. Cherchons maintenant à calculer une expression qui nous sera utile dans un moment, celle de

dfii d\i

où l'on doit remplacer d'une manière générale \i et y], par leurs valeurs

y),-r=Y4-«,-,,yi4-. . • + «/.aJa- -+-•••+ «/,/,y/M

déduites des formules (6); on a tout d'abord

di^ d\ ~di "' ^

drti dY

dt dt '' dt '■' dt '* dt

dt ~ dt '^"'''•* dt "^

dyk dt

ds.^ df

dy„ .

en substituant dans (i i), il vient

dY ^rd\\\:^ ^v^rf.v

dY \^ •\^ dX. v^ v^

->- 22 ^> ~di 2 '"'^''^■^''.'' ^ 22^'- ^t 2 '"' «'.A'^'.y En vertu des formules (8), cela se réduit à

On obtient ainsi la formule cherchée

'"•l'"TS-^'rf7