OS 9 -i-, — TT -^ nr

dV- de- dt:- a dC- '

on aura donc

d ( I du\ I dv'- .ôil s\n9 dO,

-r { —, -1- ) -\ TT — — COS 9 1 — • .

dt\u- dt J u dV- dr r 09

Nous allons remplacer dt par sa valeur (5).. ce qui nous donnera

". /7~, /^ ^>ii , d (du. r 'rir~ôîrT\ /,, r i d^ ,\ "■ V ''- -"- \i ;? dî^ ^'' ^ V "dv S/'-'^Vv^ i)v ^^V -^ " V "' ' J ^ à. 'V

.âil si M (y (m or r 09

d'où, en efTectuant les calculs et prenant (^ pour variable indépendante,

,«, d^u I fd^du ^dQ. im9 d9.\

(6) "TY -\- n^ y, — - , cos 5-^ j^ — o.

d.^ ^^..^,^,^^jj<^^^,^\0vdv ôr r ÔOJ

Remplaçons de même dans la troisième équation (a) dt par sa valeur (5); il viendra

\ J «^ àv J 09

QO CHAPITRE V

OU bien, en tenant compte des relations (3),

"V"- ^/^ > ^^ a ^"'-fi ^*) - "H"'- ^/^ "-) = t

de'

d'où

^^i^^^^fif.'r

'dv dv~ le

Réunissons maintenant les formules (5), (6) et (7) et tenons compte des relations (4); nous trouverons

dt=z

dUi dv^

dv^

dO. du ^ £ ^

dv u^dv du u. ds

'7, rdQ, dv ~~®'

J dv u*

d^ ds d^ , ,,da

US-. (l + 5»)-5-

dv dv

Nous ferons remarquer que, d'après les formules (i) et (2), Q est une fonction de r, ç', 0 et du temps t qui sera introduit par r, v' 0', r", v" , 0", ...; on

pourra écrire aussi

iî — 4>(r, u, s, t):

t, uets devront être censés exprimés en fonction de la variable indépendante i^. Les équations (a'; servent de base à la théorie de la Lune de Laplace.

26. Il peut être avantageux d'introduire, au lieu de ,5 ~, -r-? les pro- ^ ^ du dv ds ^

jections de la force accélératrice de la planète M sur trois axes rectangulaires

Fig. II.

que nous allons définir. Soient (Jig. 11 ), à l'époque t, M et Q la position do la

EQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNEES POLAIRES.

planète et sa projection sur le plan fixe ^Oj, QA le prolongement de OQ, QB la perpendiculaire menée sur OQ dans le plan fixe xOy, dans le sens où les angles ç^ croissent, QC la parallèle à 0^; les axes mobiles sur lesquels on va projeter la force accélératrice seront QA, QB, QC, et les projections de la force en question sur ces axes seront représentées respectivement par P, T, S. On aura

Xcosr -H Y sinc' =

-.— cos(^ + ^p- smc,

X sin (' + Y cos<' — :r- sin (^ + -r- cosc,

âôc ay

Donnons au point M un déplacement virtuel caractérisé par ^x, ^y, S^; soient ov, ou et h les variations correspondantes de (^, w et ^; on aura

-^â.r + — ^ôj + ^-^^^(Pcosf^ — Tsin(')^^H- (Psinc + Tcosr)<5K + Sôs ax oy "^ az ' ^ ' "

=■ -T- Ot' + ^r- du H ;— àS.

Oi' ou os

En substituant pour Boc, fy, Bz leurs valeurs tirées des formules

COSi'

sm ç

et égalant dans les deux membres les coefficients de Sç, ^u et ^s, on trouve aisément

di' u '

d^ P + S5 du u^ ■

— =-Sas u '

si l'on porte ces valeurs dans les formules (a'), elles deviennent

uy'k^^.fld.

d^u dv^

T^ du

u^ dv

"'^^fl

di>