XX^ + J

R,^ fm

H-fm,

LvVa— -a^i

-^i-^^ Ji.r-i-=i -

)'+(72-Jir+(-2--ir

On a donc à intégrer, si i désigne le nombre des planètes, un système de M équations différentielles simultanées du second ordre. On a dit déjà que, môme pour f = 2, on ne sait pas résoudre rigoureusement le problème; fort heureusement, une circonstance particulière va nous permettre d'obtenir une solution approchée. Les masses des planètes sont en effet très petites par rapport à celle du Soleil ; ainsi la masse la plus considérable, celle de Jupiter, n'est pas la millième partie de celle du Soleil; les seconds membres des équations (a), («,), ... contiennent dans tous leurs ternies en facteur un des nombres très petits m, m,, ..., qui expriment les rapports des masses des planètes à celles du Soleil; d'autre part, les distances mutuelles des planètes ne deviennent pas très petites; donc les attractions qu'une planète éprouve de la part des autres planètes sont très faibles par rapport à celle que lui fait subir le Soleil. On trouvera, par exemple, dans les seconds membres des équations («), en posant PP, = A, les quantités

fmi x^ — X fm, 7, — y f/w, z^ — z

tandis que les seconds termes des premiers membres de ces mêmes équations sont

or m^ est très petit devant i-\- m, ^ est comparable à —-

On peut donc, dans une première approximation, réduire à zéro les seconds

PREMIÈRE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANÈTES. qS

membres des équations (a), («, ), . . ; on trouve alors les équations

dC^ + ^^ r3

cl Zt ^1

Les équations {b) forment un groupe indépendant de (è,); on a naturellement le même résultat que si l'on avait traité du mouvement de chaque planète comme si elle existait seule autour du Soleil.

Nous allons donc nous occuper de l'intégration des équations {b)\ cette intégration peut se faire rigoureusement; les formules générales auxquelles nous arriverons conviendront aux équations (Z>, ), . .; l'ensemble de ces formules constituera la première approximation. Il restera ensuite à montrer comment on peut utiliser les intégrales des équations (^), (è,), ... pour intégrer par approximation les équations (a), (^«,),

29. Intégrales premières. — Si l'on ajoute les deux premières équations (b) après les avoir multipliées, la première par — j, la seconde par -f- oc, on obtient une combinaison intégrable; on trouve ainsi, en désignant par C, C, C" trois constantes arbitraires

dz dy -,

^'di~ ^tï^^'

, dx dz ,

dt -^ dt '

ce sont les intégrales des aires.

On forme avec les équations {b) une autre combinaison intégrable, en les multipliant respectivement par 2dx, 2(fyy idz et ajoutant. Soit a une constante

arbitraire; on trouve ainsi

dx^ dy- dz^ 2 f jui l'ix

c'est l'intégrale des forces vives.

Nous montrerons dans un moment comment on peut déterminer la courbe décrite par la planète en partant des intégrales ci-dessus.

Mais nous allons d'abord faire connaître trois autres intégrales données par Laplace dans la Mécanique céleste et qui nous serviront plus loin.

On tire des équations (b)

et, en remplaçant dans le second membre C et C" par leurs valeurs (A), il vient, après une transformation facile,

, dx dr

d^-y ^,d^z '"~dï~'"dJ .

on peut intégrer, ce qui donne

, dy ,,, dz X