C -, (V-T- =^ Ta 1- const

dt dt ' /•

Soient donc F, F', F" trois constantes arbitraires; on aura les (rois intégrales cherchées

I ' /• dt dt

^ r dt dt

^ r ' dt dt

Il faut supposer dans ces formules C, C, C" remplacés par leurs expressions (A).

Entre les sept constantes C, C, C", a, F, F', F", il existe deux relations faciles à obtenir. On trouve d'abord, en ajoutant les formules (C) après les avoir multipliées par C, C, C",

CF -H C'F'-l- C"F" .-= -^ (C^ 4- CJy -\-C'z);

mais les formules (A), multipliées par r, y, z, donnent

(0 Cx + C'y^QJ'z — o;

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. qh

il vient donc

CF + C'F' + C"F"=:o.

On démontre ensuite par des calculs faciles que l'on a identiquement

Il résulte des deux dernières formules que, sur les sept intégrales (A), (B) et(C), cinq seulement sont distinctes.

30. Revenons à la détermination de l'orbite ; l'équation (i) montre qu'elle est plane, et que son plan passe par le Soleil. Nous prendrons ce plan pour ^Oj, de manière que z sera constamment nul; les intégrales (A) et (B) se réduiront à

dy dx ,

"""dt ^Tït-^'

dx''' + dv^ ,. / 2 I dt^ =^^\J--1

OU bien, en remplaçant C" par c et introduisant au lieu de x etjr les coordonnées polaires r et 9-,

Soit S l'aire décrite par le rayon vecteur r quand la planète passe de la position qui répond au temps ?« à la position quelconque qui correspond au temps t. On a

dt^ ^H-r-

la formule (2) donnera

Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc proportionnelles aux temps employés à les décrire. On retrouve ainsi la première loi de Kepler; on voit en môme temps que la constante c représente le double de l'aire décrite dans l'unité de temps. Si l'on élimine dt entre (2) et (3), il vient

„dr^-hr^d^^ /a

qS chapitre VI.

d'où

f jUl 2 f fJt C*

On aura donc, en intégrant et désignant par co une constante arbitraire,

— (ù = arc CCS

d'où

C f/JL

cos(& — m)

c'est l'équation de la trajectoire. On voit que c'est une section conique ayant pour foyer le centre du Soleil; dans le cas des planètes, les conditions initiales doivent être telles que cette courbe soit une ellipse. Nous retrouvons la seconde loi de Kepler.

Désignons par p le paramètre, a le demi grand axe, e l'excentricité de l'orbite, qui sera inférieure à l'unité; soit {fig- 12) A le point de l'ellipse le plus

voisin du foyer 0, point qu'on nomme le périhélie (\q point A' le plus éloigné du point 0 est Vaphélie); représentons par w l'angle AOP que fait avec OA le rayon vecteur r === OP de la planète au temps /; w est appelé V anomalie vraie de la planète.