MOUVEMENT ELLIPTIQUE
L'équation bien connue de l'ellipse, avec les coordonnées r et w, est
i + ecos(v i~\-ecosw
la comparaison de cette expression avec (4) donne
(5) oi = '^-(v = XOA;
(0 est donc l'angle que fait avec OX le rayon vecteur du périhélie; on a ensuite
d'où l'on tire
aii~en:=^^, e^^^,-^^,
(6) c = \/t'iJ.p^=\Ji'iJ.dL{i ~ e^)
et
ainsi la constante a, que nous avions introduite dans l'intégrale (B) des forces vives, n'est autre chose que le demi grand axe de l'orbite.
Si donc V désigne la vitesse de la planète à l'époque t, on aura, d'après (3),
c'est une formule importante.
L'aire de l'ellipse est
si l'on représente par T le temps employé par la planète à décrire son ellipse, l'aire - décrite dans l'unité de temps sera
7ra^\/i
c Tia^yi — e
remplaçons c par sa valeur (6), et nous trouverons (8) ^==ff/ = f(H-m),
ce qui est une relation fondamentale pour la suite.
lOO CHAPITRE VI.
Pour la seconde planète P,, on aura de même
Jî
- 'ri-
— IV' '
on cor
iclut des deux
dernières form
lules
-aï
on n'a
plus
et la troisième loi de Kepler cesse d'être vérifiée rigoureusement; mais elle l'est d'une façon très approchée, car nous avons dit que les nombres m et m< sont
très petits; la fraction — ^ diffère fort peu de l'unité.
On désigne ordinairement par n le quotient
qu'on appelle le moyen mouvement ; c'est la vitesse angulaire que devrait avoir un rayon vecteur fictif qui tournerait d'un mouvement uniforme autour du point 0, de manière à faire une révolution complète dans le même temps T que le rayon vecteur de la planète.
Si l'on introduit la quantité // dans les formules (6) et (8), on trouve les relations
(il) /t2a=»=:f|jLi=f(i + m),
(l2) CrrnrtVl — e%
qui sont d'un usage constant.
31. Calcul de la position dans l'orbite. — Nous allons montrer maintenant comment on peut déterminer la position de la planète sur son orbite à une époque quelconque.
On a, d'après (5),
'di ~ 'dt'
MOUVEMENT ELLIPTIQUE. lOI
il viendra donc, en ayant égard aux formules (2) et (12),
div
I H- ecosnp"
ces deux équations déterminent r et «^ en fonction de t. Éliminons w : nous aurons
coswp' = a ■ ■ 5
ère
d'où
, av/i — e^ dr
dw ■=-
en portant cette valeur de w dans la première des équations (i3), il vient
(i4) n dt — - ,__ .
« ^a^e'' — {a—rY
On est conduit à prendre une variable auxiliaire u définie par la relation
a — r ^=^ ae cos u ; on en tire
(i5) /•:=za(i — ecosw);
et, en portant cette valeur de rdans l'équation (i4)» il vient
n dt :=z {i — e cos u ) du,
d'où, en intégrant et désignant par t: une constante arbitraire,
(16) u — esinwr3:/t(^ — t).
La variable auxiliaire u est susceptible d'une interprétation géométrique très simple. Décrivons, en effet, un cercle sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre; l'ordonnée QP {fig. i3) perpendiculaire sur CA rencontre cette circonférence en R; menons la droite CR et faisons pour un moment
CQ = x;
nous savons, par les formules de la Géométrie analytique, que l'on a
OP=r = a — ex.
En comparant avec la formule (i5), il vient
X = a cos u ; mais le triangle rectangle CQR donne
x==: acos(QCR)
« = QCR.
on a donc
C'est l'interprétation cherchée ; la variable auxiliaire u se nomme V anomalie excentrique de la planète.
Fig. i3.
La formule (i 6) fera connaître la valeur de l'anomalie excentrique en fonction du temps; l'équation (i5) donnera ensuite r.
Nous pouvons remarquer qu'au point A on a w = o; la formule (i6) donne alors ^ = c ; donc la quantité t représente le temps du passage de la planète à son périhélie.
Il nous reste à déterminer w en fonction de u. Pour y arriver, il suffit d'égaler les deux expressions (i3) et (i5) de r. On trouve ainsi
— ^ '— r=:a(i — ecosa),
H-ecos«'
d'où ('7)
cos w
cos a
I — e cos u
sin wz=z\J i — e^
sinM
I — e cos u
L'une ou l'autre de ces formules permet de calculer w en fonction de w, mais
MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io3
elles ne sont pas les plus commodes pour le calcul numérique. On tire de la première
,w (i — e) (i + cosm)
I H- COS iV=z2 COS^ — r= ^^ — i
2 I ^ — e COS a
, „ w (14- e) (i— COS m)
I — cosw r= 2 sin^ — 3= ^^ — ,
2 i — e COS u
d'où
i/i 4- esm — . w 2
sin
2 y/i — e COS M
(i8) / i/i — ecos-
2 v'^i — ecos
Enfin, en combinant les formules (i5), (17) et (18), on peut écrire encore
!/• sin w=z aJi — e^ sin ;/, /' COS w=i a{ COS ?< — e) ;
\Jr sin — = v'a(i 4- e) sin — >
V/r COS — =z\Ja(\ — e) ces - 2 "^ 2
Ces deux groupes de formules donnent en même temps r et w en fonction de m; on les emploie, le dernier surtout, quand il s'agit de calculs numériques.
On voit que la position de la planète sur son orbite est déterminée complètement en fonction de u; la valeur de u est déterminée elle-même en fonction de t par l'équation (iG), qui est transcendante et que l'on appelle Véquation de Kepler.
L'angle n(^t — t) = 17:—^- est ce que l'on nomme Vanomalie moyenne; on
la représente généralement par t. On voit que c'est l'angle dont a tourné depuis le périhélie le rayon fictif considéré plus haut à partir du moment où il coïncidait avec OA.
Nous pouvons résumer comme il suit les formules essentielles qui servent à
Io4 CHAPITRE VI.
calculer la position de la planète dans son orbite :
- esinu
ec
osu),
tang
tan
Il nous reste à donner les intégrales complètes des équations (h).
32. Calcul de la position héliocentrique. — Nous reprenons trois axes O.r, Oj, 0- de directions invariables se coupant au centre du Soleil ; il est dans l'usage actuel d'adopter pour plan des œy le plan de l'écliptique au i^"" janvier i85o; la partie positive de l'axe des œ sera la droite menée du point 0 à l'équinoxe moyen du printemps à la même époque. La partie positive de l'axe des j sera dirigée vers le solstice d'été, et la partie positive de l'axe des z vers le pôle boréal de l'écliptique.
Du point 0 comme centre, avec un rayon égal à l'unité, traçons une surface sphérique; soient (Jig. i4) ^» J> ^ les points où elle est percée par les parties positives des axes. Le plan de l'orbite de la planète coupe la surface de la spbère
Fig. i4.
suivant un grand cercle MN qui rencontre le grand cercle xy en deux points qu'on appelle les nœuds du plan de l'orbite : l'un est le nœud ascendant, l'autre le nœud descendant. La définition du nœud ascendant est la suivante : Dans son mouvement, la planète perce le plan des œy en deux points C et C; considérons celui de ces points, C, où le :; de la planète, en devenant nul, passe du négatif au positif; le rayon OC rencontre la sphère au point N qui est le nœud ascendant.
L'arc ajN compté à partir du point ce, dans le sens œy, jusqu'au point N est la longitude du nœud ascendant ; nous la représenterons par 0. L'angle jNM que
