MOUVEMENT ELLIPTIQUE

fait le plan de l'orbite avec le plan des œy est Y inclinaison de l'orbite; nous la désignerons par cp; elle est définie sans ambiguïté par les directions Nj et NM prises respectivement dans le sens xy et dans le sens du mouvement de la planète.

Les deux quantités ô et 9 déterminent sans ambiguïté la position du plan de l'orbite; ô peut être compris entre 0° et 36o^. Toutes les planètes tournent dans le même sens, sens direct, autour du Soleil; le plan des xy diffère peu de l'orbite d'une des planètes, la Terre ; donc l'angle 9 sera compris entre o^ et 90". 11 y a plus, les anciennes planètes ont des orbites peu inclinées les unes sur les autres; ç» sera donc pour chacune d'elles un angle assez petit.

Pour les comètes, ç peut être compris entre 90*^ et 180°; alors le mouvement de la comète est rétrograde; les définitions de cp et 0 données ci-dessus sont applicables à tous les cas.

Après avoir fixé la position du plan de l'orbite, il faut indiquer l'orientation de l'ellipse dans ce plan : soient A le périhélie, P une position quelconque de la planète sur son ellipse; les rayons OA etOP percent la surface de la sphère aux points n et M; pour déterminer la position du point II, on donne la somme des arcs o^N et NU (Nil est compté à partir du point N jusqu'au point H, dans le sens du mouvement de l'astre), et on la représente par tu; on a donc

d'où

Nn = cj-0;

westce quel'onappellela longitude du périhélie.

Il faut maintenant faire connaître la forme de l'ellipse, en donnant son excentricité e, et sa grandeur absolue, en donnant le demi grand axe a, ou la dislance moyenne de la planète au Soleil.

On doit dire ensuite comment la planète parcourt son orbite ; cela se fait en introduisant la durée T de sa révolution, ou le moyen mouvement

enfin, il faut savoir k quel point de son orbite la planète se trouve à un moment déterminé; on donne pour cela le temps du passage aupérihéliey t.

Il est facile maintenant de calculer la position de la planète en fonction du temps et des constantes qui viennent d'être définies; on aura d'abord

u — esinM = /i(< — t), /• = « (i — e cos«) ;

désignons par v la somme des arcs a?N et NM, l'arc NM étant compté comme Nil

Io6 CHAPITRE VI.

à partir du point N, dans le sens du mouvement de la planète; v est ce que l'on nomme la longitude de la planète dans son orbite. L'anomalie vraie w est l'angle

w = AO¥=:UM = ç — z;j;

on aura donc, d'après la dernière équation (c),

i> — nr /i + e u

tang-^=y/^— ^tang-;

on a ainsi r et f".

Reste à former les expressions de x, y, z, coordonnées rectangulaires de la

planète P, par rapport aux axes définis au commencement de ce numéro. Or -,

-i - sont les cosinus des angles que fait le rayon OP ou OM avec les axes ; si donc nous traçons les arcs de grands cercles Mx, Mj, Mz, nous aurons

— =n cos(Ma?), ^ = cos(Mj), ^=cos(M^).

Pour obtenir ces cosinus, nous considérons les triangles sphériques

Ma;N, MjkN, M^N, dans lesquels on a

irN = 0, ocWi — Ti — ^,

y^ = - — 0, m^ — v-e, yNM=(p,

en appliquant à chacun de ces triangles la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique, on trouve '

cos(Ma;)r=:cos0cos(t' — Q) — sxïiO ?,\vi{v — Q) coscp, cos(M7) = sinô cos(t' — 0) -\- cos0 sin((^ — 0) cos^, cos(M^)=: sin(p— 0) sin(p.

On voit que les formules précédentes font connaître x, y, z en fonction de t et des six constantes arbitraires a, e, cp, t, cr, 0; la quantité n ne doit pas être comptée comme une constante distincte de a, puisque c'est une fonction de a définie par la première des relations (c). On a donc ainsi les intégrales générales des équations (6).