MOUVEMENT PARABOLIQUE. I I I
XJLdt— ( 1 + tang^ — j G^tang — ;
d'où, en intégrant et désignant par t l'instant du passage de la comète au périhélie,
Cette équation donnera w en fonction de t : après quoi la formule (2B) fera connaître r. Ayant obtenu ainsi r et w, on passera au calcul des coordonnées rectangulaires x,y, z de la comète par les mêmes formules que pour les planètes. Pour suivre l'usage adopté par les astronomes, il convient d'introduire, au
lieu de/?, la quantité ^= -' qui représente la plus courte distance de la comète au Soleil, et que l'on nomme simplement la distance périhélie. On a ainsi cet ensemble de formules
tang-^-itang3-r=: JL^(f T), ^ ^ q Sj'iq
ig)
^ — r [cos9cos(t^ — 0) — sinô sin(p — 9) COS9], y=zr[s'm9 cos(p — 0) -h cos0sin(^'— 0) ces 9], z:=: rsin{v — 6) sin9;
la formule (7) donne d'ailleurs pour la vitesse V de la comète cette expression très simple
On obtiendra ainsi x, y, z en fonction de t et des cinq constantes arbitraires ou éléments paraboliques 0, cp, tn, q, t.
La signification des éléments 0, (p, cj etT est la même que pour les planètes.
Remarque. — La fonction tang — h ^ tang'^— croît sans cesse avec «^; elle est
nulle pour q^ = o et infinie pour (^ = 71; donc la première des formules (g) donne toujours pour w une valeur et une seule, comprise entre o et d= tt, selon que l'on a i Jt. On voit que la détermination de w est ramenée à la résolution
d'une équation du troisième degré dans laquelle l'inconnue est tang'-- Dans la pratique, on évite la résolution de cette équation du troisième degré en la remplaçant par le système suivant :
(3i) dXi=^-^,
(32) ^1^ = y/|^(^tang-j4-}tang3-j,
où Dit est une quantité auxiliaire.
On construit une Table numérique donnant la valeur de la fonction 0% de w, déterminée par la formule (32), pour des valeurs équidistantes de l'argument w\ une fois cette Table construite, on pourra en tirer la valeur de w qui répond à celle de OïL déterminée par la formule (3i).
La Table en question sera la même pour toutes les comètes, parce que, leurs masses étant très petites et absolument négligeables devant celle du Soleil, on peut prendre [x = i ; dès lors, il n'entre rien dans la formule (32) qui se rapporte à telle comète plutôt qu'à telle autre.
36. Théorème d'Euler. — On doit à Euler une expression des plus remarquables pour le temps s que met une comète, dans son mouvement parabolique, à passer d'une position P à une autre P'; cette expression contient seulement, et d'une manière très élégante, la sommer h- r' des rayons vecteurs menés du Soleil aux points P et P' et la corde a — PP' qui les joint.
Soit w' la valeur de w qui répond au point P' : nous regarderons w et w' comme positifs après le passage au périhélie, comme négatifs avant, et nous supposerons w''^w. En retranchant l'équation (3o) de l'équation analogue pour le point P', on trouve, en faisant pour abréger l'écriture k = \/f(jt.,
-35 = tang - - tang - + 3 (tang' — - tang' - j ou bien
(33) fc^(^iang- tang-j [^3 (^14- tang- tang— j + (^tang- - tang- j J.
On a d'ailleurs
tv' — w a^ = r--h r'^— irr' cos(tv' — w)=:{r -i- r'Y — 4/"/'cos^ :
MOUVEMENT PARABOLIQUE. Iï3
d'où
(35) av/z-A-'cGS— ^ — == dr y/(/- + r' -h a) {r h- /•'— a) ; on devra prendre le signe +, si l'on a
et le signe —, si l'on a
Posons pour un moment
et remplaçons dans (35) r et r' par leurs valeurs (34) ; nous aurons
^ 2__ ^ y/AB
COS— COS —
d'où
(37) i + tang^tang^'^+V^.
On tire ensuite des formules (34)
r + r' = ^\^-\. tang2 - + tang^ — j
OU bien, en ayant égard aux relations (36), A -h B / w w' \
P cela peut s'écrire, à cause de (3;),
= 2(^i + tang-lang-j + (^tang- - tang-j ;
A + Bi;=2v/AB / w' w\
= / tang- - tang- ) ;
cl ou, en remarquant que tang- - tang- est positif par hypothèse, (38) lang^-^'-tangl^=:^^5.±i5.
Il ne reste plus qu'à porter dans (33) les expressions (3;) et (38). On
I l4 CHAPITRE VI.
trouve
Q>k ^ v/Â =r \^ /A H- B ± v/ÂbA ■ ■
On voit que le diviseur/?^ disparaît, et il reste simplement
6^S = A*qiB^ •
ou bien, en remplaçant A et B par leur^ valeurs (36),
{h) ■ ■ 6A-S = (V + /-'4-af.zp(r4-/-'— a)%-
c'est la formule d'Euler que l'on attribue souvent, mais à tort, à Lambert; Euler l'a donnée le premier. On a v^ plus baut comment le signe ambigu ± doit être fixé dans chaque cas.
Il convient d'insister sur cette formule; on pouvait exprimer a priori w et w' à l'aide de rn- r , de cr et de/?; la formule (33) devait donc donner pour G un résultat de cette forme -
G r= 0» (/■ + /•', cr,/));
ce qu'il y a de remarquable dans la formule (A), c'est d'abord la manière dont y entrent les quantités r+ r' et a; mais c'est surtout le fait que p n'y figure plus.
C'est la raison du rôle fondamental que joue cette formule dans la belle méthode d'Olbers pour la détermination des orbites paraboliques des comètes.
37. Mouvement hyperbolique. — Si l'on suppose négative la constante a qui figure dans l'in^tégrale (B) des forces vives, le coefficient de cos(Ô — w) dans la formule (4) est supérieur à l'unité, et la trajectoire est une hyperbole dont le Soleil occupe un foyer. €e cas paraît être féalisé pour quelques comètes et surtout pour certains bolides. Nous supposerons l'astu'e en mouvement sur la branche d'hyperbole qui tourne sa concavité vers le Soleil; le mouvement ne pourrait avoir lieu sur l'autre branche que si la force émanée du Soleil était répulsive. Nous n'examinerons pas ce dernier cas, quoiqu'on ait à le considérer dans la théorie de la figure des comètes (Bessel, Faye, Roche, Bredichin, etc.).
La formule (4) nous donnera
