ecostv

on obtiendra les points de la branche considérée en supposant q^ue ^i^ varie de — fir — arccos- j à -h (t: — ^arccos- j; toutes les valeurs de /seront positives.

MOUVEMENT HYPERBOLIQUE. Il5

Cela posé, pour obtenir les formules du mouvement hyperbolique, nous pouvons partir de celles du mouvement elliptique

a\ a r = çi{i — e cosu),

u — e sjn

et nous les transformerons en posant

«, désignant une quantité positive et w, une quantité réelle. Soit E la base des logarithmes népériens; nous aurons

E". — E-». E". + E-». sm u r=z =z— ) ces u = ,

U j E^' — î tang - = -= :;.; ;

et il en résultera, en choisissant convenablement le signe du radical qui figure dans tang

rrzza, [ e i

w ^ e ■+- 1 E". -- I tang— " 4 / __• — .

On peut introduire, au lieu de m,, une variable auxiliajre # définie par la formule

d'où

E".^tang('^-l-f),

E«. + E-». =r -^ , E«. - E-". — 2 tang J,

E«1 — I ri

si l'on introduit en outre la quantité auxiliaire ■«, — 4 /iÇ et

£ = GT — /î| T,

I l6 CHAPITRE VI.

on trouvera, en partant des formules (c'), cet ensemble de relations e tang # — log tang f y + - \^=in^t-\-z—w,

tang-^-y'^— ^tang-,

^ = /• [cos9cos(p — 9) — sin 9sin(('— Q) C0S9], y = /-[sin 9cos(^' — B) + ces 9 sin ((^ — Q) coscp], z = /•sin(p — 6) sino.

La seconde de ces formules permettra de calculer l'inconnue auxiliaire § qui remplace l'anomalie excentrique; on obtiendra ainsi les coordonnées rectangulaires héliocentriques exprimées en fonction du temps t et des six éléments hyperboliques G, cp, m, e, a,, £.

38. Détermination des éléments du mouvement elliptique d'une planète, connaissant la position et la vitesse de la planète à un moment donné ^o- — Cette question se présente très souvent en Astronomie. Soient ^o> Jo» ^0» ^0 =^ \l ^l -^ yl -^ ^l les coordonnées de la planète à l'époque t, ^^ < = (ê)o' •>'''' = (^)o' '^« = (^)o ^'' composantes, de sa vitesse Vo = V^C+j7~^~^7' ^u même instant.

Commençons par une question accessoire :

Exprimer, à Vaide des éléments du mouvement elliptiquey les trois constantes C, C, C des intégrales des aires, intégrales (A) du n° 29.

On a donc ces formules

/ i \ -T dz dy „, dx dz „ dy dx

(A) ^=y-77 — -s -77' C' — 3 -77 — j: :3-> ^ — ^-éz—y-n'

'' dt dt dt dl dt *' dl

Soit Q le point où la sphère de rayon i , ayant pour centre le centre 0 du Soleil, est percée par la normale au plan de l'orbite, menée d'un tel côté qu'un observateur placé les pieds en 0 et la tête en Q voie le mouvement de la planète s'effectuer de sa droite vers sa gauche. Je dis qu'on aura, dans tous les cas, en grandeur et en signe, les formules

(89) C=:ccos(Qa^), C— ccos(Q/), C'=r ccos(Qx;),