DETERMINATION DES ELEMENTS DE L ORBITE
OÙ c désigne la quantité essentiellement positive \/f[jt./?, qui représente, comme on l'a vu, le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur r de la planète.
Il suffira de démontrer l'une des formules (89), la dernière par exemple; soient r" la projection de r sur le plan des 00, y, ^" l'angle que fait r" avec Ox, S" l'aire décrite à partir d'une certaine position par le rayon r"; on aura
ce =z r" cos 3r" , j =: /•" siii s", d'où
r„ dv dx „dy' rfS"
dt -^ dt dt dt
On voit que G" représente ± le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon r", suivant que -^ est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant
que le déplacement de r" s'effectue dans le sens xy, ou dans le sens yx. Mais
S" l'aire S" est la projection de l'aire plane S décrite par/'; le rapport -^r- est donc
égal au cosinus de l'angle que fait le plan de l'orbite avec le plan des xy, et l'on a, au signe près,
(4o) C" = ccos(Qx;).
Or, si l'angle (Q^) est aigu, le mouvement de r" s'effectue dans le sens xy\ il s'effectue, au contraire, dans le sens jo? si l'angle (Qs) est obtus; donc C" et cos(Q5) sont toujours de même signe, et la formule (4o) est générale.
Si l'on considère maintenant les triangles sphériques QN^r et QNy, N désignant le nœud ascendant de l'orbite, et si l'on remarque que QN = -> l'application de la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique donne immédiatement
[ cos(Q^) = sincp sin9, cos(Qj)— — sincpcosô;
(40 \ on a d'ailleurs
( cos(Q z) =1 coscp.
Les formules (39) et (4i) nous fournissent donc les relations cherchées,
s/flips'mcf) sin9, {k) ^ C = z~ —-cc^ =: — s/YJxpsiiKf cosO,
^Ji^i-P cos (p.
^ -^ dt
dv
~^'di~-
^ --^ dt
dz
-y-di^
Il8 CHAPITRE VI.
Nous allons écrire de nouveau les intégrales (C) du n*' 29, mais sous une forme un peu différente, en remarquant que l'on a identiquement
^, dz p„ dy dx f dx dy dz\ f dx^ dy^ dz^\ dr dx
^ dë~^ dt ~"dt y^ ~dt '^^'dt '^ "" dt J ~ "^ \dF"^ ^ '^ dt^ J -^ "" d} dt -'^^"'
nous trouverons ainsi
X dr dx
(C.) |F' = f^^-jV^+/-^^^,
dt \dt
dr dz r " ' ' ' dt dt
Cela posé, les formules (k) et (C) appliquées à l'époque Iq donnent
= 70^0 — -So./o,
= -^O ^0 -^o-So >
=-- îii ^ + C"x\-
= ff?+c/,-
■ c Xq;
ce qui détermine, en fonction des données, les valeurs des six constantes C, C, C", F, F', F"; on aura ensuite
(m) ^{iipsinc^sinO = C, \/l'npsm<f>co56=i— C, \/Tlxp cos cf = C" ,
d'où, sans ambiguïté, les valeurs des quantités/?, ^ et G. La formule (7), appliquée à l'instant t^, donne d'ailleurs
d'où
le demi
grand
axe a
de
l'ell
ipse;
: on
a ensuite
ce qui fait connaître l'excentricité.
Nous appliquerons maintenant les formules (G,) au moments où la planète passe à son périhélie; nous désignerons par X,, Y<, Z, les coordonnées de
