DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DE L ORBITE. II
ce point, et par r^ = a{l— e) = v/XJ + YJ -i- ZJ la distance périhélie. Nous aurons, à ce moment, -^ = o, puisque r, est un minimum. La formule (7) donne d'ailleurs
d'où
Les formules (G,) donneront donc
Remarquons en passant qu'il résulte de là une représentation géométrique simple des constantes F, F', F"; ces quantités sont, en effet, les projections sur les axes d'une longueur égale à f[xe portée sur le grand axe de l'ellipse à partir du foyer 0, dans la direction du centre. ' ^
On déduira des formules (42) les cosinus directeurs du rayon mené au périhélie; mais il est préférable d'obtenir la longitude cï du périhélie. Or les formules (d) donnent
-^ =cosO cos(n7 ~ 6) — sind sin{ixs — 9) C0S9,
(4^) { — = sinô cos(gt — 0) + cos!9sin(n7 — 9) COS9,
— = sin(cT — 0) sin^;
en portant les valeurs de — et de — dans les deux premières formules (42), et
résolvant par rapport aux inconnues e cos(nï — 0) et esin(GT — 0), il vient
I f]i/ecos(îLf — &) r=— Fcos0 — F'sin9,
ip) W • / n. FsinÔ — F'cosô
On aura donc sans ambiguïté e et tir; la valeur ainsi trouvée pour e devra coïncider avec celle qu'a donnée la formule (o).
Reste à calculer la longitude moyenne de l'époque, i; on aura, en désignant par Uo l'anomalie excentrique et par v^ la longitude dans l'orbite,
pour t = to,
Uq /i — e
tang --=\/-— -: tang
e = ST — nÙQ -h (uq — e sin Mq ) .
Il n'y a plus qu'à trouver i\; or on tire aisément des trois dernières formules (d)
r^cosi^o — 6) :=^ocos9 4- jo sinS,
{'') { . , ,, — ^0 Sin9 -4- VoCOSÔ ^0
i\ sin ( «'o —0)= = -. — - 5
\ coso sincp
ce qui donnera Vç^ et aussi To qui est déjà connu.
Les formules (/), (m), (n), (o), (p), (q), (r) font connaître les valeurs des éléments cherchés, a, e, ç, ô, cnr, £.
La solution obtenue ne laisse rien à désirer au point de vue de la rigueur; il est possible d'abréger les calculs numériques et d'obtenir des vérifications des calculs, autres que celles que nous avons indiquées ; mais nous n'insisterons pas.
39. Détermination des éléments du mouvement parabolique d'une comète, connaissant la position et la vitesse de la comète à un moment donné t^. — Les données devront vérifier la relation
Les formules (/) et {m) détermineront sans ambiguïté les éléments cp, 0 et
On trouvera de même cj sans ambiguïté par les formules que l'on déduit de (/?), en y faisant e == i , savoir
/ f|jicos(nj— Ô)=— FcosÔ — F'sinô, iPi) W • / n. Fsinô — F'cosô
/ l/Jt. Sin(CT — &) =r -
coscp
si cos^ est petit, on pourra, pour avoir plus de précision, calculer par la formule
(/?î) fusin(GT-- 6) r= : )
•^ ' sincp
HODOGRAPHE. 121
qui se déduit de la dernière des relations (4^)» en y remplaçant -^ par
Les formules (r) donneront t^o» après quoi on tirera de la première des formules (g)
le problème sera donc résolu par l'ensemble des formules (/), (m), (/?,) ou(/72), (r)et(^,).
