Hodographe. — Hamilton a résolu la question suivante

Par le centre 0 du Soleil, on mène des droites égales et parallèles aux vitesses d'une planète ou d'une comète dans les divers points de son orbite. On demande de trouver le lieu des extrémités de ces droites; ce lieu se nomme Vhodographe.

Partons des intégrales ( Cj, et supposons, pour simplifier, que l'on ait choisi le plan de l'orbite pour plan des x/, l'axe des a? passant par le périhélie. On aura

les formules (42), dans lesquelles on a maintenant

^=.1 ^=0 ^=0 donneront

F — -f^e, F'r:rF"=0;

les équations (C) deviendront donc

^ .T dv „

lu. c -7- = — lU-e,

^ r dt ^

-.y dx

lu— -hC -J-—0.

^ r . dt

Mais les coordonnées ir', y du point de l'hodographequi répond au point (^r, y) ont respectivement pour valeurs ~ et -j-- On aura donc

122 CHAPITRE VI. — IIODOGRAPHE.

d'où, en élevant au carré et ajoutant,

Donc l'hodographe est un cercle ayant son centre sur la perpendiculaire menée par le centre du Soleil au grand axe de l'ellipse, ou à l'axe de la parabole ;

le rayon de ce cercle est \ / — ' et l'ordonnée de son centre est e i/ — •

Dans \dLjig. i5, la demi-circonférence A,Bi A'j répond à la demi-ellipse ABA'; dans le cas de la parabole, l'hodographe est tangent à l'axe au foyer; enfin, pour l'hyperbole, l'hodographe ne coupe pas l'axe transverse.

Fig. i5.

M. Darboux a montré tout récemment, d'une manière très élégante, que la considération de l'hodographe permet d'écrire presque immédiatement les trois intégrales (C); nous renverrons le lecteur à une Note qu'il a, publiée sur ce sujet dans le Bulletin astronomique (t. V, p. 89).

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