RECHERCHES DE LAGRÂNGE SUR LE PROBLÊME DES TROIS CORPS. T
Si l'on forme les équations différentielles des mouvements absolus des points C, C et C", et qu'on retranche deux à deux celles qui correspondent à un même axe, on trouve
et Ju . . rf \ *
dt
d^x' dt^
dt-
d^z' ~dF
-^{ni
+ "*")t7ïï —"^'
.sT
( m H- m' + m" ) -— — ni"
d^z" ^dtF
(m 4- m' -H m") -^ — tn"
'rn — o,
zz:o;
On a d'ailleurs
Quand on aura déterminé les valeurs de x' , y' , z' \ x'\y" , z\ on connaîtra les mouvements relatifs de C" et C par rapport à C, ce que l'on cherche en Astronomie, s'il s'agit, par exemple, de déterminer les mouvements de deux planètes C et C" autour du Soleil C; on n'a introduit x, j, z que pour avoir des formules symétriques.
Soient a, 6, c trois constantes arbitraires; les intégrales des aires seront
dz Tt
d y dt
dz\ 'dt)
dx\
dt dt ) ' ni'
dv
ni' y dt dt
dx' , dz' dt
ni\ dt -^ dt )
. dy' , dx
"^ -dt-y
dt
dx ~di
dz"
ix^ 'di
dt
dt
dz"
~cti
dx" (V-""
1 / ,, dy" „ dx"
dt
On le vérifie en différentiant, remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs tirées de (i), (2), (3), et ayant égard à (5).
iJo CHAPITRE VllI.
Posons ensuite
^~' ^' ~"dt^ ^ ~dC- ^ 7W-' " ' ~ ~d^ '"^ ~dt^ '' dl^ ' '^ ' ~ dl' ^ dt^"^ de-' et désignons par h une constante arbitraire; l'intégrale des forces vives sera
^ ' m m m \inr nv r m r J
on le vérifie de la même manière que pour les intégrales des aires.
Si l'on tient compte des relations (5), on voit que la solution du problème dépend de six inconnues qui doivent être déterminées en partant d'un système de six équations différentielles simultanées du second ordre; on connaît les quatre intégrales (G) et (8); il en resterait huit à trouver.
43. Lagrange décompose le problème en deux autres : il cbercbe d'abord à déterminer en fonction du temps les côtés du triangle formé par les trois corps; en supposant cette question résolue, il lui reste à fixer la position du plan du triangle, et l'orientation du triangle dans ce plan. Il introduit les notations suivantes :
