II J 1 , I I

(9) 775 -pr,^'h -7r,--j:,=^q, -3-77^^7,

d'où ces identités

(10) ci^q'^q"^o, |j-H-^ -|-l^ = o.

Soit encore posé

(ri) —p — x'x"-^y'y"+z'z", — p — x" x + y" y + z" z, — p" =z xx' -+- yy' -^ zz' ; on en conclut, en tenant compte de (5),

Si l'on différentie deux fois l'expression (4) ^^ f''\ on trouve, à cause de (7),

i ^''■' d^-^ d'y d-z 2 'i'dF -"^ ~dt^ ^ ^' ~dF ~^ ^ W' '^ '' '

d'où, en remplaçant dans le second membre les dérivées secondes par leurs

RECHEKCHES DR LAGRANCE SUR LE PROBLÈME DES TKOIS CORPS. l3r

valeurs (i), et tenant compte de (i i) et (12),

I d^r'^ jn -\- m' -\- m" . /' i // p" \ ( p' -^ p" ' u- == m ■ -^.TT, — ^ \ =.m ' ' '^

2 dt r \v r"\ r''^ J \ r' r"^ r'\l'

d'après (9), les coefficients de mp' et de mp" dans le second membre sont égaux respectivement à — mr/ et -i-mq". On aura donc ainsi

I d-r- /n -h m' -Jr ni" , , , „ „.

- 7^ - + rn {p' q' -- p" cj") - u^ ^ o,

, ,. ; I d-r'- ni -h ni' -h tn" .,„ „

f I d^r"'- m-^ni'-\-ni"

\ 2 "dT'^ 7' ^"^ iP 9 -p'cj')-u"'=o.

Ces équations font connaître les valeurs de ir, u'-, u"-, en fonction de r, j\ r'\ et des dérivées premières et secondes de ces quantités par rapport au temps. On en conclut

m m' m" 0. m dt'^ 2 m' dt^ ' 2 m" dt^

\m/- m' r' m" r" OU bien, en ayant égard à (8),

2 dr-\m ni' m") \mr m i m" r" J

Cette formule coïncide avec la formule (10) du n** 15 lorsque, dans cette dernière, le nombre des corps se réduit à trois : c'est Tune des équations fondamentales du Mémoire de Lagrange.