U II
Pour résumer ce qui précède, nous poserons
a'=:cosM'M", p' = cosM'N", y'^cosM'N',
a"=cosN'N", (3"=cosM"N', -/"=cosM"N";
«'*-!- Il"- — «- u"--\- II- — ii'^ , 11^-+- u'^ — //"
nous aurons les formules suivantes :
\!{p+p'){p+p") dp
dt dt
Ci\/Cp^'p")~(i'-^i-'
v/Ct'H- v') (i'-hv")
dp
rf/P dp' dt~^ 'dt
45. Reportons-nous à lay?^. 17; nous voyons que a', |3', y', a", P", y" sont les cosinus (les quatre côtés et des deux diagonales d'un quadrilatère sphérique M'M"N'N". Or ce quadrilatère est déterminé quand on donne les quatre côtés et seulement une diagonale M'N", car on peut construire alors les deux triangles sphériques M'N'N", M'M'N"; il existe donc une relation entre les six quantités cl', ^', y', a", P", y"; cette relation, qui sera démontrée plus loin, est la suivante :
Si l'on y porte les expressions (19) de nos six cosinus et que l'on pose, pour abréger,
, dp"' di'
.dp"dC
(dp' \dt
dp"Y dt) '
, dp^ dl^
dp"-" dt^
(dp"
dpy dt) '
dp'^ df'
,dp^ dt^
(dp \dt
dt ) '
RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l35
011 trouvera, après un calcul assez long que l'on dirigera de manière à ordonner par rapport à v, v' , v" et aux produits de ces quantités deux à deux,
/ ((;V"+ v"v + vv') {p'p"-\-p"p+pp') — {vl-hv'l'-\- v"U')
( i6V dt dt dt dt dt dt ) '
les expressions (21) de S, 2' et I" contiennent p au premier et au second degré; donc l'équation (B) est une équation du quatrième degré en p, dans laquelle p' ne figure pas.
Les quantités/;, />',p" sont données en fonction de /% r',r" par les formules (i 3); V, v'y v peuvent être exprimés à l'aide de r, r' , r" et de leurs dérivées premières et secondes au moyen desformules(i4)et (18) entre lesquelles on devra élimineri'^-, //'- et II!"-. Donc on connaîtra finalement l'inconnue auxiliaire p en fonction , , „ dr dt' dr" d^r dh' , d'- r"
^^ '*''"' '^ ' Tt' -dï' -dt' -JF' -dt^ ''^ 77r^ •
licmarcjne. — La première des formules (21) peut s'écrire
mais on trouve, en remplaçant/?,//, p" par leurs expressions (i3),
(23) p'p"-{-p"p~\~pp' '-={{/■ -+- /-'-H /■")(/• H- /•' -/•")(/• - /•'+/•") (- /• + /•'+/•") r= cr%
cr désignant le double de la surface du triangle formé par les trois corps; il vient donc
cela prouve que les quantités S, H' et Z" sont essentiellement positives.
46. Différentions la première des formules (i5) par rapport au temps, et remplaçons les dérivées secondes de ^', y', ^' , 00" , y\ z" par leurs valeurs tirées de (2) et (3) ; nous trouverons
, /,/•.£.•" -\- yv" -{- zz" x' jc" -\- v' y" -]- z' z" .v"- + /'^ -»- -"■
, l'a^x'-hfy-^zz' a:'^-hy'--i-z'^ .v' x' -h y y^z' z^
l36 CHAPITRE VIII.
OU bien, en ayant égard à la définition des quantités p et y,
= — {m H- m' + m")pq + m' {— p' q' + pq) H- m" {— p" q" -hpq),
d'où
( C ) ZT ~^ /«/>^ + fn'p' q' -+- m" p"q" = o.
Cette équation, qui joue aussi un rôle important dans la théorie de Lagrange, donne ~ en fonction de r, r' et r".
Nous allons chercher maintenant à déduire des intégrales (6) des aires une combinaison qui ne contienne que les distances mutuelles et leurs dérivées; élevons ces équations au carré, ajoutons-les, et posons
nous trouverons
m' m^ ni"^ m' m mm mm' OÙ nous avons fait, pour abréger,
„ / dz r/vY ( dx dz\- ( dy dxY
^=VTt-'-Ét) '^['dI-''dF)-^[^Tt-^d-t)'
/ Ax / iT; / /^-' ,dY'\f „dz" ^dy'X { , dœ' , dz'\ f „ dx" „dz"
,dy' ,dx'\(,,df ,,dx"
-* dJ ^ ~dt)V ~dt~y dtp
les valeurs de 11', IT", \'' et W s'en déduisent par des permutations d'accents. Les expressions de II et ^' sont susceptibles de la transformation suivante
„, , , „ , „ , „Jdx' dx" dy' dy" dz' dz"\
\ dt -^ dt dt ) \ dl -^ dt dt )
RECHERCHES DE LAGRANGE SIT. LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l'5']
en ayantégard aux formules (4), (7), (i 1) et (iT)), et aussi à la relation
dx' dx" dy dy" d^d^ u"- — u"^— u'"^ ___ ~dt dt dt dï dt dt 2
déjà rencontrée, on peut écrire encore autrement les expressions ci-dessus de n et de iF.
On trouve finalement
Avec ces valeurs, la formule (25) devient
I / . . ., f/z-'N I / ,» ,., ,.dr'-'\ I / „., „„ „.^dr"-
/??- \ dL- ) m'- \ dt- j in"^ \ dl-
^ '^ j m m \ 4 «^^ / mm \ .4 r//^ y mni \ 4 "^'
