Nous allons résumer l'état de la question

Les quatre équations à retenir sont (A), (B), (C) et (D); il est entendu une fois pour toutes que les quantités/?, //, p", ir, li^, u"-, c, v' , c", 2, 2', 2" sont exprimées en fonction de r, r' , r" et de leurs dérivées des deux premiers ordres à l'aide des formules (i3), (i4). (i8)et(2i); après quoi l'équation (B) donne p exprimé en fonction des mêmes quantités.

Le problème est ramené à l'intégration des trois équations différentielles simultanées (A), (C) et (D), où les inconnues sont r, /', r"; les équations (A) et (D) sont du second ordre ; elles contiennent les deux constantes h et 1i\ (C) est une équation du troisième ordre.

Ainsi, les distances mutuelles des trois coi ps dépendent d' un système de trois équations différentielles simultanées ; deux de ces équations sont du second ordre, et la dernière est du troisième ordre.

L'intégration de ce système amènerait sppt constantes arbitraires; en y joi- T. - L ' 18

l38 CllAPITRi: VIIT.

gnant les dein-, h et k, qui figurent déjà dans les équations différentielles, on voit que les expressions les plus générales de r, r' , r", en fonction du temps, contiendront /^e///" constantes arbitraires. En supposant cette intégration faite, on aura à introduire deux éléments pour fixer la position du plan des trois corps, et enfin un dernier indiquant l'orientation du triangle dans son plan. On aura bien ainsi introduit les douze constantes arbitraires dont doivent dépendre les mouvements relatifs de deux des corps autour du troisième. Pour cette dernière partie de la solution, on se servira, bien entendu, de deux des trois intégrales (6) déjà connues, dont on a utilisé une seule combinaison représentée par la formule (D).

Remarque. — Vë(\Vi2i{\on (B), qui est du quatrième degré en p, manque, comme nous l'avons dit, du terme en p^; si donc, dans les termes en p^ et p\ on remplace p^ par sa valeur tirée de (D), cette équation (B) donnera p par une formule du premier degré. Cette remarque a été faite par M. H. Radau dans un Mémoire publié dans le tome III du Bulletin astronomique, p. ii3; ce Mémoire contient d'autres résultats intéressants. Les formules principales de Lagrange y sont obtenues d'une manière très directe; nous y renverrons le lecteur.

48. Pour arriver plus rapidement au bul, nous avons laissé décote des formules qui, sans être indispensables, peuvent être cependant utiles; nous allons les démontrer ici.

On a, en partant de la définition (7) de u,

I (lu- (l.r (C- :r fly d- y dz r/^ s